如图所示,在三角形ABC中,已知D是BC边上的点,O为三角形ABD的外接圆圆心,三角形ACD的外接圆与三角形AOB的外接圆相交于A,E两点.求证：OE垂直于EC.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/02/01 15:42:16

如图所示,在三角形ABC中,已知D是BC边上的点,O为三角形ABD的外接圆圆心,三角形ACD的外接圆与三角形AOB的外接圆相交于A,E两点.求证：OE垂直于EC.如图所示,在三角形ABC中,已知D是B

如图所示,在三角形ABC中,已知D是BC边上的点,O为三角形ABD的外接圆圆心,三角形ACD的外接圆与三角形AOB的外接圆相交于A,E两点.求证：OE垂直于EC.
如图所示,在三角形ABC中,已知D是BC边上的点,O为三角形ABD的外接圆圆心,三角形ACD的外接圆与三角形AOB的外接圆相交于A,E两点.求证：OE垂直于EC.

如图所示,在三角形ABC中,已知D是BC边上的点,O为三角形ABD的外接圆圆心,三角形ACD的外接圆与三角形AOB的外接圆相交于A,E两点.求证：OE垂直于EC.
证明：
连接AE、AD、BO,延长BO交圆O与F
在AOB的外接圆中,∠AEO=∠ABO （同弧上的圆周角相等）
在ACD的外接圆中,∠CEA=∠CDA （同弧上的圆周角相等）
而∠CDA=∠DAB+∠DBA
所以 ∠OEC=∠CEA+∠AEO=∠CDA+∠ABO=∠DAB+∠DBA +∠ABF=1/2(弧BD+弧DA+弧AF)
∵ BF是圆O的直径,∴ 弧BD+弧DA+弧AF=弧BF=180°
∴ ∠OEC=90°
即 OE⊥EC

证明:连接AE,AD,连接BO并延长,交圆O于F,连接AF.
BF为直径,则∠BAF=90°,∠F+∠ABF=90°.
又∠ABO=∠OEA;∠F=∠ADC=∠AEC.
所以,∠OEA+∠AEC=∠ABO+∠F.
即∠OEC=∠ABF+∠F=90度,得OE垂直EC.