求函数奇偶性定义在r上的函数f x 对任意的x y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1成立求证:已知F(x)=f(x)+1,求证:F(x)为奇函数
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/08/31 21:41:16
求函数奇偶性定义在r上的函数f x 对任意的x y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1成立求证:已知F(x)=f(x)+1,求证:F(x)为奇函数
求函数奇偶性
定义在r上的函数f x 对任意的x y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1成立
求证:已知F(x)=f(x)+1,求证:F(x)为奇函数
求函数奇偶性定义在r上的函数f x 对任意的x y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1成立求证:已知F(x)=f(x)+1,求证:F(x)为奇函数
令y=0
f(x)=f(x)+f(0)+1
所以f(0)=-1
令y=-x
则f(0)=f(x)+f(-x)+1
所以f(x)+f(-x)=-2
所以F(x)+F(-x)
=f(x)+1+f(-x)+1
=[f(x)+f(-x)]+2
=-2+2
=0
所以 F(-x)=-F(x)
所以F(x)是奇函数
对任意的x y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1
令x=y=0代入得
f(0)=f(0)+f(0)+1
f(0)=-1
令x=-y代入得
f(0)=f(x)+f(-x)+1
f(x)+f(-x)=-2
f(-x)=-2-f(x)
F(x)=f(x)+1
F(-x)=f(-x)+1=-2-f(x)+1=-f(x)-1
因此F(x)为奇函数
令y=0
由于f(x+0)=f(x)+f(0)+1=f(x)
解出f(0)=-1
再令y=-x
有 f(x-x)=f(x)+f(-x)+1=f(0)=-1
即 f(x)+1+f(-x)+1=0
即 f(x)+1=-(f(-x)+1)
即 F(x)=-F(-x)
因此 F(x)为奇函数
解由对任意的x y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1..............(*)
令x=y=0
则得f(0)=f(0)+f(0)+1
即f(0)=-1
再令y=-x代入(*)
得f(x+(-x))=f(x)+f(-x)+1
即f(0)=f(x)+f(-x)+1
即f(x)+f(-x)+1=-1
即f(x)+f(-x)=...
全部展开
解由对任意的x y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1..............(*)
令x=y=0
则得f(0)=f(0)+f(0)+1
即f(0)=-1
再令y=-x代入(*)
得f(x+(-x))=f(x)+f(-x)+1
即f(0)=f(x)+f(-x)+1
即f(x)+f(-x)+1=-1
即f(x)+f(-x)=-2''''''''''''''''''''''''(1)
由F(x)=f(x)+1
知F(-x)=f(-x)+1
知F(x)+F(-x)=f(x)+1+f(-x)+1
=f(x)+f(-x)+2
又由(1)知f(x)+f(-x)+2=0
即F(x)+F(-x)=0
即F(-x)=-F(x)
故F(x)为奇函数
收起