高一数学—函数的性质和应用定义在R上的函数f(x),对于任意x,y∈R,均有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f（0）≠0.（1）求证f(0)=1（2）求证y=f(x)是偶函数（3）若存在常数c,使f(0.5c)=0成立,求证：函数f(x)是周
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 23:37:37
高一数学—函数的性质和应用定义在R上的函数f(x),对于任意x,y∈R,均有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f（0）≠0.（1）求证f(0)=1（2）求证y=f(x)是偶函数（3）若存在常数c,使f(0.5c)=0成立,求证：函数f(x)是周
高一数学—函数的性质和应用
定义在R上的函数f(x),对于任意x,y∈R,均有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f（0）≠0.
（1）求证f(0)=1
（2）求证y=f(x)是偶函数
（3）若存在常数c,使f(0.5c)=0成立,求证：函数f(x)是周期函数.
只需要详细解答第（3）问.
高一数学—函数的性质和应用定义在R上的函数f(x),对于任意x,y∈R,均有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f（0）≠0.（1）求证f(0)=1（2）求证y=f(x)是偶函数（3）若存在常数c,使f(0.5c)=0成立,求证：函数f(x)是周
（1）
取x=y=0,即得
f(0+0)+f(0-0)=2f(0)f(0)
即2f(0)=2f(0)f(0)
所以f(0)=0或1
又因为题目中说f(0)≠0
所以f(0)=1
（2）
取x=0有
f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)
由（1）有,f(0)=1
所以 f(y)+f(-y) = 2f(y)
即 f(-y) = f(y)
所以f是偶函数.
（3）
令x=y=0,得2f(0)=2*[f(0)]^2 且f(0)不等于0
所以f(0)=1
令x=0 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)
所以 f(x)为偶函数
从而f(x+c)+f(x)=f(x+c)+f(-x)=2f(c/2)f(x+c/2)=0,
所以有f(x+c)=-f(x)成立.
f(x+0.5c-0.5c)+f(x+0.5c+0.5c)=2f(x+0.5c)f(0.5c)=0;
f(x)=-f(x+c)
同理有：f(x+2c)=-f(x+c)
所以f(x)=f(x+2c) 周期函数
f(x+0.5c)+f（x-0.5c）=0 令x取代x+0.5c 可得 f（x）=-f（x-c）=f（x-2c）所以周期为2c的周期函数