已知函数fx等于(2-a)(x-1)-2Lnx(a属于R (1)当a=1时 求fx单调区间(2)若函数fx在(0,1/2)上无零点 求a的最小
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/02/07 01:06:26
已知函数fx等于(2-a)(x-1)-2Lnx(a属于R (1)当a=1时 求fx单调区间(2)若函数fx在(0,1/2)上无零点 求a的最小
已知函数fx等于(2-a)(x-1)-2Lnx(a属于R (1)当a=1时 求fx单调区间(2)若函数fx在(0,1/2)上无零点 求a的最小
已知函数fx等于(2-a)(x-1)-2Lnx(a属于R (1)当a=1时 求fx单调区间(2)若函数fx在(0,1/2)上无零点 求a的最小
(1)
a=1时
f(x)=x-1-2lnx (x>0)
求导f'(x)=1-2/x=(x-2)/x
令g(x)=x-2
根据g(x)不难看出f(x)在(0,2)上递减,在[2,正无穷)上递增
(2)f(x)=(2-a)x+a-2-2lnx (x>0)
f'(x)=2-a-2/x=[(2-a)x-2]/x
另g(x)=(2-a)x-2
分类讨论
当2-a2时
f(x)在(0,1/2)上递减
最小值f(1/2)=a/2+2ln2-1>0
所以f(x)无零点
当2-a>0,即a=1/2,即a>=-2,f(x)递减,所以最小值f(1/2)=a/2+2ln2-1>0,无零点,符合题意
当2/(2-a)
(II)因为f(x)<0在区间(0,12)上恒成立不可能,
故要使函数f(x)在(0,12)上无零点,
只要对任意的x∈(0,12),f(x)>0恒成立,即对x∈(0,12),a>2-2lnxx-1恒成立.
令l(x)=2-2lnxx-1,x∈(0,12),则l(x)=-2x(x-1)-2lnx(x-1)2=2lnx+2x-2(x-1)2,
再令m(x)=2lnx+...
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(II)因为f(x)<0在区间(0,12)上恒成立不可能,
故要使函数f(x)在(0,12)上无零点,
只要对任意的x∈(0,12),f(x)>0恒成立,即对x∈(0,12),a>2-2lnxx-1恒成立.
令l(x)=2-2lnxx-1,x∈(0,12),则l(x)=-2x(x-1)-2lnx(x-1)2=2lnx+2x-2(x-1)2,
再令m(x)=2lnx+2x-2,x∈(0,12),
则m′(x)=-2x2+2x=-2(1-x)x2<0,故m(x)在(0,12)上为减函数,于是m(x)>m(12)=2-2ln2>0,
从而,l(x)>0,于是l(x)在(0,12)上为增函数,所以l(x)<l(12)=2-4ln2,
故要使a>2-2lnxx-1恒成立,只要a∈[2-4ln2,+∞),
综上,若函数f(x)在(0,12)上无零点,则a的最小值为2-4ln2;
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