求函数f(x)=x+a/x+1在x∈[1,2]时的最大值和最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/01 21:54:47
求函数f(x)=x+a/x+1在x∈[1,2]时的最大值和最小值
求函数f(x)=x+a/x+1在x∈[1,2]时的最大值和最小值
求函数f(x)=x+a/x+1在x∈[1,2]时的最大值和最小值
y=(x+a)/(x+1)
yx+y=x+a
(y-1)x=a-y
x=(a-y)/(y-1)
1≤(a-y)/(y-1)≤2
y>1时,
y-1≤a-y≤2y-2
y-1≤a-y,a-y≤2y-2
1＜(a+2)/3≤y≤(a+1)/2
1＜(a+2)/3≤(a+1)/2
a＞1,
则a>1时,1＜(a+2)/3≤y≤(a+1)/2,有最小值(a+2)/3,有最大值(a+1)/2;
y＜1时,
2y-2≤a-y≤y-1
(a+1)/2≤y≤(a+2)/3＜1
(a+1)/2≤(a+2)/3＜1
a＜1
则a＜1时,(a+1)/2≤y≤(a+2)/3＜1,有最小值(a+1)/2,有最大值(a+2)/3;
a=1时,f(x)=1.
综上所述
a＞1时,f(x)有最小值(a+2)/3,有最大值(a+1)/2;
a＜1时,f(x)有最小值(a+1)/2,有最大值(a+2)/3;
a=1时,f(x)=1.
f(x)=(x+a)/(x+1)=1+(a-1)/(x+1)，
a=1时，f(x)=1为常值函数
a>1时，x∈[1,2]上函数为减函数，x=1有最大值为(a-1)/2，x=2有最小值为(a-1)/3，
a<1时，x∈[1,2]上函数为增函数，x=2有最大值为(a-1)/3，x=1有最小值为(a-1)/2
f(x)=(x+a)/(x+1)=1+(a-1)/(x+1)，
当x∈[1,2]时，x+1∈[2,3]，
a>=1时，
(a-1)/(x+1)∈[(a-1)/3, (a-1)/2]，
y∈[(a+2)/3,(a+1)/2]；
a<1时，
(a-1)/(x+1)∈[(a-1)/2, (a-1)/3]，
y∈[(a+1)/2,(a+2)/3]。<...
全部展开
f(x)=(x+a)/(x+1)=1+(a-1)/(x+1)，
当x∈[1,2]时，x+1∈[2,3]，
a>=1时，
(a-1)/(x+1)∈[(a-1)/3, (a-1)/2]，
y∈[(a+2)/3,(a+1)/2]；
a<1时，
(a-1)/(x+1)∈[(a-1)/2, (a-1)/3]，
y∈[(a+1)/2,(a+2)/3]。
故函数f(x)在x∈[1,2]时，
当a>=1时，最大值为(a-1)/2，最小值为(a-1)/3；
当a<1时，最大值为(a-1)/3，最小值为(a-1)/2。
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