不查表求sin18°
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 04:44:59
不查表求sin18°
不查表求sin18°
不查表求sin18°
1.
sin54°=sin(90°-36°)=cos36°
其中由三倍角公式和二倍角公式有：
sin54°=-4(sin18°)^3+3sin18°
cos36°=1-2(sin18°)^2
代入sin54°=cos36°移项有方程
4(sin18°)^3-2(sin18°)^2-3sin18°+1=0
分解方程为(sin18°-1)[4(sin18°)^2+2sin18°-1]=0
共有三个
sin18°=1
sin18°=(-1+√5)/4
sin18°=(-1-√5)/4
验算有sin18°=(-1+√5)/4是唯一解
2.
令z=cos72°+isin72°,则z^5=1.即
(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0
因为z≠1,所以 z^4+z^3+z^2+z+1=0
z^2+z+1+1/z+1/z^2=0
令y=z+1/z,则 y^2+y-1=0.
解得:y=(-1±√5)/2
又y=z+1/z=2cos72°>0
所以 cos72°=(-1+√5)/4
故 sin18°=cos72°=(-1±√5)/4.
验算有sin18°=(-1+√5)/4是唯一解
3.
0=ctg90°=ctg(54°+36°)=(ctg54°ctg36°-1)/(ctg54°+ctg36°)
即0=ctg54°ctg36°-1
其中由三倍角公式和二倍角公式有：
ctg54°=[（ctg18°)^3-3ctg18°]/[3(ctg18°)^2-1]
ctg36°=[（ctg18°)^2-1]/2ctg18°
代入0=ctg54°ctg36°-1化简有
（ctg18°)^2=5±√20
又ctg18°=cos18°/sin18°,
即（ctg18°）^2=[1-(sin18°)^2]/(sin18°)^2=[1/(sin18°)^2]-1=5±√20
化简有sin18°=[√6±(√20)]/4=(√5±1)/4
其中验算消去(√5+1)/4项
有sin18°=(√5-1)/4
这真是高一的题么?
sin36=cos(90-36)=cos54
sin2*18=cos3*18
cos3x=4cos³x-3cosx
所以2sin18cos18=4cos³18-3cos18
两边除以cos18
2sin18=4cos²18-3=4(1-sin²18)-3
4sin²18+2sin18-1=0
sin18>0
所以sin18=(√5－1)/4
我们知道
sin36°=cos54°
也即2sin18°cos18°=4(cos18°)^3-3cos18°
解上述方程即得sin18°=(√5-1)/4