因式分解：(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5,请给出过程.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 04:58:19
因式分解：(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5,请给出过程.
因式分解：(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5,请给出过程.
因式分解：(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5,请给出过程.
正巧,我刚答过.
你应该知道因式定理：
如果x=a时,多项式 b•x^n+c•x^(n-1)+d•x^(n-2)+……+mx+n的值为0,那么(x-a)是该多项式的一个因式.
当然 含有多个字母的式子 也同样成立
我想你还应该知道 轮换对称多项式：
一个含有多个字母的多项式,把其中所含的字母按一定顺序（一般按字母表的前后顺序）排列后,把第一个字母换成第二个字母,把第二个字母换成第三个字母,以此类推,并把最后一个字母换成第一个字母,如果得到的多项式与原来多项式相同,那么这个多项式就是
轮换对称多项式
比如(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5,按a,b,c顺序轮换变成(b-c)^5+(c-a)^5+(a-b)^5,仍与原多项式相同,所以(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5是轮换对称多项式
对于轮换对称多项式 ,如果已知它含有一个低次数的因式,那么它必含有 相同类型其他因式.
比如 分解因式：(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5
把a=b代入得 0^5+(a-c)^5+(c-a)^5=0
所以 a-b是(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5 的一个因式
因为 (a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5 是轮换对称多项式
所以 b-c,c-a也是(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5的因式
因为 (a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5 是轮换对称多项式
根据其特点,设(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5 =(a-b)(b-c)(c-a)[k(a²+b²+c²)+m(ab+bc+ac)]
令 a=1,b=0,c=-1代入
得 (1-0)^5+[0-(-1)]^5+(-1-1)^5=(1-0)×[0-(-1)]×(-1-1)×(2k-m)
即 -30= -2（2k-m）
2k-m=15……①
令 a=2,b=1,c=0代入
(2-1)^5+(1-0)^5+(0-2)^5=(2-1)×(1-0)×(0-2)×(5k+2m)
-30=-2(5k+2m)
5k+2m=15……②
联立①,②解得,k=5,m=-5
所以 (a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5 =(a-b)(b-c)(c-a)[5(a²+b²+c²)-5(ab+bc+ac)]
=5(a-b)(b-c)(c-a)（a²+b²+c²-ab-bc-ac)
顺便提一下 (a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5=5(a+b)(b+c)(c+a)(a²+b²+c²+ab+bc+ac)
(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5的分解方法,和这这道题一样,你可以自己试着分解,如果不懂可以问我.
【如有不懂,请Hi上问我】