若函数f（x）=（a+1）x的平方+1/bx,且f（1）=3,f（2）=9/2 （1）求a、b的值,写出f（x）的表达式（2）求证f（x）在[根号2/2,正无穷大]上是增函数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 01:57:19
若函数f（x）=（a+1）x的平方+1/bx,且f（1）=3,f（2）=9/2 （1）求a、b的值,写出f（x）的表达式（2）求证f（x）在[根号2/2,正无穷大]上是增函数
若函数f（x）=（a+1）x的平方+1/bx,且f（1）=3,f（2）=9/2 （1）求a、b的值,写出f（x）的表达式
（2）求证f（x）在[根号2/2,正无穷大]上是增函数
若函数f（x）=（a+1）x的平方+1/bx,且f（1）=3,f（2）=9/2 （1）求a、b的值,写出f（x）的表达式（2）求证f（x）在[根号2/2,正无穷大]上是增函数
(1) f（1）=3,f（2）=9/2
3=a*1²+1+1/b*1 a=2-1/b
9/2=a*(9/2)²+1/b*(9/2) 9/2a+1/b=1
9/2(2-1/b)+1/b=1
9-9/(2b)+1/b=1
-7/(2b)=-8
b=7/16
a=2-1/(7/16)=-2/7
f(x)=(-2/7+1)x²+1/(7/16)x
=5/7x²+16/7x
(2) f(x)=5/7(x²+16/5x)
=5/7(x+8/5)²-64/35
对称轴x=-8/5的右边为增函数,即单增区间：x>-8/5
∴f(x)在[√2/2,+∞)上是增函数
（1）直接代入：
（a+1）+1/b=3.................(A)
4(a+1)+1/2b=9/2...............(B)
联立AB两式，可得：a=-1/7,b=7/15
f(x)=6/7x^2+15/7x
(2)求f(x)的一阶导数，证明在[根号2/2，正无穷大)上恒大于0，即可~
f（1）=a+1+1/b=3
f（2）=4(a+1)+1/(2b)=9/2
把f（1）化成a=2-1/b代入f（2）中，
得4（2-1/b+1)+1/(2b)=9/2
可解得：b=7/15代入a=2-1/b可解得a=-1/7
所以f(x)=(6/7)x^2+15/7x