证明抛物线的通径的两个端点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值设直线l与抛物线y^2=2px(p>0)交于A、B两点,且OA⊥OB（O为坐标原点）求证：（1）A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 06:01:34
证明抛物线的通径的两个端点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值设直线l与抛物线y^2=2px(p>0)交于A、B两点,且OA⊥OB（O为坐标原点）求证：（1）A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是
证明抛物线的通径的两个端点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值
设直线l与抛物线y^2=2px(p>0)交于A、B两点,且OA⊥OB（O为坐标原点）求证：
（1）A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值.
（2）直线AB经过一个定点.
证明抛物线的通径的两个端点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值设直线l与抛物线y^2=2px(p>0)交于A、B两点,且OA⊥OB（O为坐标原点）求证：（1）A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是
1)
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则：y1^2=2px1,y2^2=2px2
(y1y2)^2=4p^2x1x2
而由OA⊥OB,知,y1/x1*y2/x2=-1
y1y2=-x1x2
所以,
(x1x2)^2=4p^2x1x2
x1x2=4p^2
y1y2=-x1x2=-4p^2
所以,A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值.
2）
y2^2-y1^2=2p(x2-x1)
AB斜率=(y2-y1)/(x2-x1)=2p/(y2+y1)
AB直线方程为：y=2p(x-x1)/(y2+y1)+y1
y(y2+y1)-2p(x-x1)=y1(y2+y1)
而y1(y2+y1)=y1y2+y1^2=-4p^2+2px1
所以,y(y2+y1)-2p(x-x1)=-4p^2+2px1
y(y2+y1)-2px+4p^2=0
y(y2+y1)-2p(x-2p)=0
所以,x=2p,y=0时,等式恒成立
直线AB经过定点(2p,0)
可设点A(2pa^2,2pa),B(2pb^2,2pb).由OA⊥OB由可知，ab=-1.(1).2pa^2*2pb^2=4p^2,2pa*2pb=-4p^2.命题得证。（2）易知，直线AB的方程为，y-2pa=(x-2pa^2)/(a+b).即x-（a+b)y-2p=0.显然，该直线过定点（2p,0).