求函数在给定区间上的最大值和最小值y = x^4-2*x^2+5[-2,2]
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 13:56:06
求函数在给定区间上的最大值和最小值y = x^4-2*x^2+5[-2,2]
求函数在给定区间上的最大值和最小值
y = x^4-2*x^2+5[-2,2]
求函数在给定区间上的最大值和最小值y = x^4-2*x^2+5[-2,2]
由y = x^4-2*x^2+5,[-2,2]
令x^2=t,则t的取值范围是[0,4]
y=(t-1)^2+4
当t=1时亦即x=±1时,y有最小值4
因为1-0=1,4-1=3
所以当t=4时亦即x=±2时,y有最大值3^2+4=13
即y = x^4-2*x^2+5,[-2,2]
的最大值为13最小值为4
令t=x^2 ∈[0,4]
y=t^2-2t+5=(t-1)^2+4
当t=1时y(min)=4，此时x^2=1,x=1或-1
当t=4时y(max)=13，此时x^2=4,x=2或-2
最小值4，最大值13
函数可化为 y = (x^2 - 1)^2 + 4
x∈[-2,2],那么x^2∈[0,4],函数在[1 , 4]为增函数，在[0,1]为减函数，
在x^2 = 1时，即x = ±1时有最小值4，x^2 = 4,即x = ±2时,取最大值
(4 - 1)^2 + 4 = 13
y =x^4-2*x^2+5
=(x^2-1)^2+4
令z=x^2，则
y =(z-1)^2+4 0<=z<=2^2=4
显然，z=1(x=1,-1)时y最小取4；
z=4(x=2,-2)时y最大取13.
首先对Y求导，得Y'=4x^3-4*x.然后再求一次导，Y''=12x^2-4;然后让Y''=0,解出此时的x的值，就得出了该函数的极值，再把x的值带回Y（x可以解得多个值），比较一下，最大的就是最大值，最小的就是最小值。
函数化为 y = (x^2 - 1)^2 + 4
完全平方最小值为0，不可能是负值，所以,当x=±1的时函数得最小值
(1 - 1)^2 + 4 = 4
当x = ±2时，y值为最大值，即
(4 - 1)^2 + 4 = 13