2道三角函数的题目,1.在三角形ABC中,已知（sinC）^2-（sinA）^2=sinA*sinB,sinA+sinC=2sinBcos(A/2),求角A,B,C 2.求证：（cosα）^2+（cosβ）^2-2cosαcos βcos(α+β)=(sin(α+β))^2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 01:24:01
2道三角函数的题目,1.在三角形ABC中,已知（sinC）^2-（sinA）^2=sinA*sinB,sinA+sinC=2sinBcos(A/2),求角A,B,C 2.求证：（cosα）^2+（cosβ）^2-2cosαcos βcos(α+β)=(sin(α+β))^2
2道三角函数的题目,
1.在三角形ABC中,已知（sinC）^2-（sinA）^2=sinA*sinB,sinA+sinC=2sinBcos(A/2),求角A,B,C
2.求证：（cosα）^2+（cosβ）^2-2cosαcos βcos(α+β)=(sin(α+β))^2
2道三角函数的题目,1.在三角形ABC中,已知（sinC）^2-（sinA）^2=sinA*sinB,sinA+sinC=2sinBcos(A/2),求角A,B,C 2.求证：（cosα）^2+（cosβ）^2-2cosαcos βcos(α+β)=(sin(α+β))^2
1）.
对于第一个等式 ,两边除以sinA·sinB ,并利用正弦定理得到：
1 = (c^2 - a^2)/ab ,c^2 = a^2 + ab ,再用余弦定理：
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cosC ,联立得到：b^2 = ab·(1 + 2cosC) ,
即：b = a(1 + 2cosC),再用正弦定理得：sinB = sinA·(1 + 2cosC),
积化和差得：sinB = sinA + [sin(A + C) + sin(A - C)]
= sinA + sinB + sin(A - C)
故sinA = sin(C - A),故A = C - A 或 A + (C - A) = π ,但C是三角形内角,
排除第二种 ,所以：A = C - A ,故C = 2A
对第二个等式进行和差化积：
sinA + sinC = 2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2] = 2cos(B/2)cos[(A-C)/2]
= 2sinBcos(A/2)
代入C = 2A ,得：cos(B/2) = sinB ,故sin(B/2) = 1/2 ,解得：
B/2 = 5π/6 或 π/6 ,因为B是三角形内角 ,B小于π ,B/2小于π/2 ,
故B/2 = π/6 ,故B = π/3 ,由C = 2A ,A = 2π/9 ,C = 4π/9
2）.
积化和差：2cosαcos βcos(α+β)=cos(α+β）·[cos(α+β) + cos(α-β)]
= [cos(α+β)]^2 + cos(α+β)·cos(α-β)
= [cos(α+β)]^2 + (1/2)·[cos2α + cos2β]
= [cos(α+β)]^2 + (1/2)·[2(cosα)^2 - 1 + 2(cosβ)^2 - 1]
= [cos(α+β)]^2 + (cosα)^2 + (cosβ)^2 - 1
所以原式左边 = (cosα)^2 + (cosβ)^2 -
{[cos(α+β)]^2 + (cosα)^2 + (cosβ)^2 - 1}
= 1 - [cos(α+β)]^2 = [sin(α+β)]^2 = 原式右边 ,证毕 .