把可以表示成两个整数的平方之和的全体整数记作集合M,试证明集合M的任意两个元素的乘积仍属于M

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/24 22:23:39

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把可以表示成两个整数的平方之和的全体整数记作集合M,试证明集合M的任意两个元素的乘积仍属于M
把可以表示成两个整数的平方之和的全体整数记作集合M,试证明集合M的任意两个元素的乘积仍属于M

把可以表示成两个整数的平方之和的全体整数记作集合M,试证明集合M的任意两个元素的乘积仍属于M
M={x|x=a^2+b^2,a和b∈Z}
设s和t∈M
则s=a^2+b^2,a和b∈Z
t==c^2+d^2,c和d∈Z
s*t=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac)^2+(bd)^2+(ad)^2+(bc)^2
=[(ac)^2+2abcd+(bd)^2]+[(ad)^2+2abcd+(bc)^2]
=(ac+bd)^2+(ad+bc)^2
又因为a,b,c,d都∈Z
所以ac+bd和ad+bc也属于Z
所以s*t可以表示成两个整数的平方之和
所以集合M的任意两个元素的乘积仍属于M

设一个数a^2+b^2 另一个c和d 相乘后加上一个2abcd 再减去它就有两个完全平方一个和一个差得证爪机无力

集合M里面所有的数都是形如a^2+b^2的
例如m1=a^2+b^2 m2=c^2+d^2
所以m1m2=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2 = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2

设M中有任意两数A=a^2,B=b^2.A*B=(a*b)^2。a*b为整数所以A*B属于M