高中平面几何已知如图,A是⊙O的直径CB延长线上一点,BC=2AB,割线AF交⊙O于E、F,D是OB的中点,且DE⊥AF,连结BE、DF.（1）试判断BE与DF是否平行?请说明理由；(2）求AE：EC的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 13:32:50
高中平面几何已知如图,A是⊙O的直径CB延长线上一点,BC=2AB,割线AF交⊙O于E、F,D是OB的中点,且DE⊥AF,连结BE、DF.（1）试判断BE与DF是否平行?请说明理由；(2）求AE：EC的值.
高中平面几何
已知如图,A是⊙O的直径CB延长线上一点,BC=2AB,割线AF交⊙O于E、F,D是OB的中点,且DE⊥AF,连结BE、DF.
（1）试判断BE与DF是否平行?请说明理由；
(2）求AE：EC的值.
高中平面几何已知如图,A是⊙O的直径CB延长线上一点,BC=2AB,割线AF交⊙O于E、F,D是OB的中点,且DE⊥AF,连结BE、DF.（1）试判断BE与DF是否平行?请说明理由；(2）求AE：EC的值.
(1) 不平行.
首先证明F即过O垂直于AC的的直线与圆的交点（和E同侧）,则OF⊥AC.连接AF,交圆于E.
此时只要证明ED⊥AE就证明了F点的位置
作EG⊥AC交于AC于G
令EG=x,据题意,因为RtΔAOF∽RtΔAGE
AE=√5x,AG=2x
连接OE,令OE=r.有OE^2-EG^2=OG^2
即r^2-x^2=(2r-2x)^2
解得：x=3r/5
所以,AE=3√5r/5
ED^2=EG^2+GD^2=x^2+(3r/2-2x)^2
=9r^2/20
ED^2+AE^2=9r^2/20+9r^2/5
=45r^2/20=9r^2/4
=AD^2
∴ 若ED⊥AE,则EG=3r/5,DG=3r/10
BG=BD-GD=r/5
tan∠EBG=EG/BG=(3/5)*5=3
tan∠FDO=2
∠EBG≠∠FDO,即BE与DF不平行
(2) 由（1）可知,AE=3√5r/5,DG=3r/10
GC=9r/5,EG=3r/5
所以,EC^2=EG^2+GC^2=(81+9)r^2/25=3√10r/5
AE:EC=1:√2