微积分 ∫根号下(x^2+1) dx微积分 ∫根号下(x^2+1) dx 半天做不出来啊.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 19:03:16
微积分 ∫根号下(x^2+1) dx微积分 ∫根号下(x^2+1) dx 半天做不出来啊.
微积分 ∫根号下(x^2+1) dx
微积分 ∫根号下(x^2+1) dx 半天做不出来啊.
微积分 ∫根号下(x^2+1) dx微积分 ∫根号下(x^2+1) dx 半天做不出来啊.
积分:根号(x^2+1)dx
思路:分部积分法很有用!
=x*根号(x^2+1)-积分:xd(根号(x^2+1))
=x根号(X^2+1)-积分:x^2/根号(x^2+1)dx
=x根号(x^2+1)-积分:(x^2+1-1)/根号(x^2+1)dx
=x根号(x^2+1)-积分:根号(x^2+1)+积分:dx/根号(x^2+1)
先求:积分:dx/根号(x^2+1)
令x=tant
dx=d(tant)=sec^2tdt
原式
=积分:sec^2tdt/sect
=积分:sectdt
=积分:cost/cos^2tdx
=积分:d(sinx)/(1-sin^2x)
=1/2ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C
x=tant代入有:
=ln|x+根号(x^2+1)|+C
令原来的积分是Q
Q==x根号(x^2+1)-Q+积分:dx/根号(x^2+1)
2Q=x根号(x^2+1)+ln|x+根号(x^2+1)|+C
所以
Q=1/2[x根号(X+1)+ln|x+根号(x^2+1)|+C
(C 是常数)
ln[x+根号下（X2+1）]+C
三角代换，令x=tana
1
=X^3/3+X+C (C为任意常数)
三角代换，令x=tana
三角换元令x=tant,则原式=∫sectdtant=∫sec^3tdt
=secttant－∫tantdsect
=secttant－∫tan^2tsectdt
=secttant－∫(sec^2t－1）sectdt
=secttant－∫sec^3tdt+∫sectdt
所以原式=∫sec^3tdt=(1/2)secttant+（1/2)∫sectdt<...
全部展开
三角换元令x=tant,则原式=∫sectdtant=∫sec^3tdt
=secttant－∫tantdsect
=secttant－∫tan^2tsectdt
=secttant－∫(sec^2t－1）sectdt
=secttant－∫sec^3tdt+∫sectdt
所以原式=∫sec^3tdt=(1/2)secttant+（1/2)∫sectdt
=(1/2)secttant+（1/2)ln|sect+tant|+C
=(1/2)x√(x^2+1)+(1/2)ln|x+√(x^2+1)|+C(C为任意常数）
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