已知圆C：X^2+Y^2-2X+4Y-4=0,是否存在斜率为1的直线m,使m与圆C的两个交点A,B与原点O的连线互相垂直?若存在,求出直线m的方程；若不存在,请说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 02:02:28
已知圆C：X^2+Y^2-2X+4Y-4=0,是否存在斜率为1的直线m,使m与圆C的两个交点A,B与原点O的连线互相垂直?若存在,求出直线m的方程；若不存在,请说明理由.
已知圆C：X^2+Y^2-2X+4Y-4=0,是否存在斜率为1的直线m,使m与圆C的两个交点A,B与原点O的连线互相垂直?若存在,求出直线m的方程；若不存在,请说明理由.
已知圆C：X^2+Y^2-2X+4Y-4=0,是否存在斜率为1的直线m,使m与圆C的两个交点A,B与原点O的连线互相垂直?若存在,求出直线m的方程；若不存在,请说明理由.
圆C:x^+y^-2x+4y-4=0
直线m的斜率为1,可设它的方程为：y=x+b
它与圆C交于A,B两点,则可设A,B两点坐标为(x1,x1+b),(x2,x2+b)
联立m：y=x+b 与 圆C:x^+y^-2x+4y-4=0,消去y,可得到关于x的一元二次方程为：
x^+ (b+1)x +(b^/2 +2b-2)=0
由相交含义可知,A,B两点的横坐标x1,x2是上述一元二次方程的两个不等实根,必有其△=（b+1）^-4*(b^/2 +2b-2)>0成立,解得此关于b的不等式,可得到b的取值范围是:-3-3√2
x1+x2=-b-1 ②
x1*x2=b^/2 +2b-2 ③
条件中:A,B两点与原点O的连线互相垂直,即,OA⊥OB,由垂直的解析含义,可得到直线OA与直线OB的斜率乘积为-1,即：kOA*kOB=-1 ④
根据A(x1,x1+b),B(x2,x2+b),0(0,0),很容易得到OA,OB的斜率分别为：
kOA=(x1+b-0)/(x1-0)=(x1+b)/x1,kOB=(x2+b-0)/(x2-0)=(x2+b)/x2
将它们代入④式,并化简,可得到：
[(x1+b)/x1]*[(x2+b)/x2]=-1
<=>(x1+b)*(x2+b)/(x1*x2)=-1
<=>2(x1*x2)+b^(x1+x2)+b^=0
将②,③同时代入上式,并化简,最终可得：
b^+3b-4=0
<=>b=-4或b=1
比较①中b的取值范围,发现两个值均满足,故,两个值均符合题意
∴直线m的方程为：
y=x-4或y=x+1
假设A（X1，Y1）B（X2，Y2），OA、OB斜率K1，K2，
K1=Y1/X1，K2=Y2/X2，
互相垂直K1K2=-1，X1X2+Y1Y2=0....1)
假设AB：Y=X+B带入圆方程：
2X^2+(2B+2)X+B^2+4B-4=0
X1X2=(B^2+4B-4)/2...2)
2Y^2+(2-B)Y+B^2+2B-4=0
Y1Y...
全部展开
假设A（X1，Y1）B（X2，Y2），OA、OB斜率K1，K2，
K1=Y1/X1，K2=Y2/X2，
互相垂直K1K2=-1，X1X2+Y1Y2=0....1)
假设AB：Y=X+B带入圆方程：
2X^2+(2B+2)X+B^2+4B-4=0
X1X2=(B^2+4B-4)/2...2)
2Y^2+(2-B)Y+B^2+2B-4=0
Y1Y2=(B^2+2B-4)/2...3)
连立1）、2）、3）：
B^2+3B-4=0
B=-4或B=1
所以存在m，直线m的方程：
x-y-4=0或x-y+1=0
收起