最好用向量解决如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E F分别在BB1 DD1上，且AE垂直A1B，AF垂直A1D！（1）求证A1C垂直面AEF；（2）当AB=4，AD=3，AA1=5，求面AEF与面D1B1BD所成二面角得余玄值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 06:54:11
最好用向量解决如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E F分别在BB1 DD1上，且AE垂直A1B，AF垂直A1D！（1）求证A1C垂直面AEF；（2）当AB=4，AD=3，AA1=5，求面AEF与面D1B1BD所成二面角得余玄值
最好用向量解决
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E F分别在BB1 DD1上，且AE垂直A1B，AF垂直A1D！（1）求证A1C垂直面AEF；（2）当AB=4，AD=3，AA1=5，求面AEF与面D1B1BD所成二面角得余玄值
最好用向量解决如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E F分别在BB1 DD1上，且AE垂直A1B，AF垂直A1D！（1）求证A1C垂直面AEF；（2）当AB=4，AD=3，AA1=5，求面AEF与面D1B1BD所成二面角得余玄值
1、∵A1C在平面ABB1A1中的投影为A1B,并且AE⊥A1B,∴A1C⊥AE
∵A1C在平面ADD1A1中的投影为A1D,并且AF⊥A1D,∴AF⊥A1C
∵AE和AF都属于平面AEF并且他们相交于点A,所以A1C⊥平面AEF
2、连接BD、B1D1,做AG⊥BD于G,做GH⊥EF于H,连接GF、GE、AH,做FO∥BD交BB1于O
设A1B与AE交点为P,A1D与AF交点为Q
∵DD1⊥平面ABCD,且AG属于平面ABCD,∴AG⊥DD1
∵BD和DD1都属于BB1D1D,且他们相交,∴AG⊥平面BB1D1D,
∵GH⊥EF且AG⊥平面BB1D1D,∴GH为AH在BB1D1D上的投影并且AH⊥EF
所以如果需要求面AEF与面D1B1BD所成二面角得余玄值,那么根据二面角的定义可知∠AHG为面AEF与面D1B1BD的二面角,只需要求出cos∠AHG=GH/AH就行了
∵AD⊥AB,∴BD²=AD²+AB²,∴BD=5,∵AG⊥BD,∴AD·AB=AG·BD
∴AG=12/5
∵AD⊥AA1,∴A1D²=AD²+AA1²,A1D=√34
∵A1D⊥AF,∴△AA1Q∽△AA1D（共用∠DA1A,都有一个角是90°）,∴AQ/AA1=AA1/A1D
∴AQ=5/√34,∵△ADQ∽△ADF（共用∠DAF,都有一个角是90°）,∴AQ/AD=AD/AF
∴AF=3/5√34,∵DF²=AF²-AD²,∴DF=9/5
∵AB⊥AA1,∴A1B²=AB²+AA1²,∴A1B=√41
∵A1B⊥AE,∴△A1AP∽△A1AB（共用∠AA1B,都有一个角是90°）,∴AP/AB=AA1/A1B
∴AP=20/√41,∵△APB∽△ABE（共用∠BAE,都有一个角是90°）,∴AP/AB=AB/AE
∴AE=4/5√41,∵BE²=AE²-AB²,∴BE=16/5
∵△ABD为Rt△,并且AG⊥BD,∴AD²=DG·BD,并且AB²=BG·BD,∴DG=9/5,BG=16/5
∵DF⊥DG且BE⊥BG,∴GF²=DF²+DG²,EG²=BG²+BE²,∴GF=9/5√2,EG=16/5√2
∵BD⊥BB1,且FO∥BD,∴FO⊥BB1,∵DF∥BE,∴BOFD为平行四边形,∴DF=BO=9/5,且BD=FO=5,∴EO=BE-BO=7/5,∵EF²=FO²+EO²,
∴EF=√674/5（你没看错我算了很多遍都是这个数,我也很无语）
∵DG=DF=9/5,∴△DFG为等腰Rt△,所以∠DGF=45°
∵BG=BE=16/5,∴△BGE为等腰Rt△,所以∠BGE=45°
∴∠EGF=180°-45°-45°=90°,∴GE·GF=EF·GH,∴GH=288/5√674
∵AG⊥GH,∴AH²=AG²+GH²,所以AH=12√(50/674)
cos∠AHG=GH/AH=(288/5√674)/(12√(50/674))=12√2/25
我想了一下午才想出来,这题太麻烦了虽然可能还有简便方法,但我实在是懒得再去想了.
有点小复杂，等12点过后给你做，现在上班。。。
题目呢？
用向量法解决，建立空间直角坐标系较简单。顺便膜拜楼上算出数的大神。。。