试说明:任意五个连续整数的平方和不是完全平方数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 00:25:00
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试说明:任意五个连续整数的平方和不是完全平方数
试说明:任意五个连续整数的平方和不是完全平方数
试说明:任意五个连续整数的平方和不是完全平方数
证明：
设五个连续整数为m－2,m－1,m,m+1,m+2.其平方和为S.
那么S
＝（m－2）^2＋（m－1）^2＋m^2＋（m+1）^2＋（m+2）^2
＝5（m^2+2）.
∵m^2的个位数只能是0,1,4,5,6,9
∴m^2+2的个位数只能是2,3,6,7,8,1
∴m^2+2不能被5整除.
而5（m2+2）能被5整除,
即S能被5整除,但不能被25整除.
∴五个连续整数的平方和不是完全平方数
设五个连续自然数最中间的为n，则五个数的平方和可表为
(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=5n^2+10
反证法，若可表示为完全平方，设上式为m^2
即 5n^2+10=m^2
左边有因子5，所以m必被5整除，设m=5t，原式化为
n^2+2=5t^2
因为完全平方数模5的余数只能是0，1，4，所以左边模5只能余...
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设五个连续自然数最中间的为n，则五个数的平方和可表为
(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=5n^2+10
反证法，若可表示为完全平方，设上式为m^2
即 5n^2+10=m^2
左边有因子5，所以m必被5整除，设m=5t，原式化为
n^2+2=5t^2
因为完全平方数模5的余数只能是0，1，4，所以左边模5只能余2，3，1
与右边能被5整除矛盾
所以原方程无解
收起
试说明:任意五个连续整数的平方和不是完全平方数
求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数
求五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和.
求五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和.
试说明：5个连续整数的平方和能被5整除
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说明五个连续整数的和能被5整除
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