圆锥的体积为什么是圆柱的三分之一如何证明?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 15:26:05
圆锥的体积为什么是圆柱的三分之一如何证明?
圆锥的体积为什么是圆柱的三分之一
如何证明?
圆锥的体积为什么是圆柱的三分之一如何证明?
初中的话可以用类似于微积分的方法证明.
设圆锥高为h,底部半径为r,把圆锥等分为k份,每份看做一个小圆柱.
则第n份圆柱的高为h/k,半径为n*r/k.
则第k份圆柱的体积为h/k*pi*(n*r/k)^2=Pi*h*r^2*n^2/k^3
总的体积为Pi*h*r^2*(1+2^2+3^2+...+k^2)/k^3
而1+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
则总体积为Pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
K越大,这个总体积越接近于圆锥的体积.
当K为无穷大时,则1/k等于0.即总体积为Pi*h*r^2/3,即为圆柱体积的三分之一.
我记得小学4年纪学校都发过一套东西给我们
其中有一个小圆柱和小圆锥，，里面都是空心的
然我们自己做试验，把圆锥装满水倒进圆柱，刚好在圆柱三分之一的位置，再倒两次，圆柱水刚满
对大学生用微积分；对中学生用祖暅原理;用实验探究的方法既感性又有说服力。如圆锥容器与同底三分之一高的圆柱容器盛满水的体积相等之类的方法。
祖暅（gen)原理：对于每一对应平面，面积均相等，则这些面构成的体积相等
球表面积：4*pi*r*r
建立三维坐标系，x^2+y^2+x^2=R^2;
将球分成n份平行于yz平面的圆，利用勾股定理r=sqr(R^2--x^2...
全部展开
对大学生用微积分；对中学生用祖暅原理;用实验探究的方法既感性又有说服力。如圆锥容器与同底三分之一高的圆柱容器盛满水的体积相等之类的方法。
祖暅（gen)原理：对于每一对应平面，面积均相等，则这些面构成的体积相等
球表面积：4*pi*r*r
建立三维坐标系，x^2+y^2+x^2=R^2;
将球分成n份平行于yz平面的圆，利用勾股定理r=sqr(R^2--x^2)
把每个圆的周长积起来便是
∫sqr(R^2--x^2)dx 利用牛顿-莱不尼茨定理即可算得
微积分：
设圆锥高为h，底部半径为r，把圆锥等分为k份，每份看做一个小圆柱。
则第n份圆柱的高为h/k, 半径为n*r/k。
则第k份圆柱的体积为h/k*pi*(n*r/k)^2=Pi*h*r^2*n^2/k^3
总的体积为Pi*h*r^2*(1+2^2+3^2+...+k^2)/k^3
而1+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
则总体积为Pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
K越大，这个总体积越接近于圆锥的体积。
当K为无穷大时，则1/k等于0。即总体积为Pi*h*r^2/3,即为圆柱体积的三分之一。
收起
等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积等于圆锥体积的3倍，圆锥的体积等于圆柱体积的3分之1，所以圆锥的体积是圆柱的三分之一。
可以用厚纸做一个圆锥，再做一个和它等底等高的圆柱。在空圆柱里装满沙土，然后到入空圆柱里，看看倒几次正好装满。...
全部展开
等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积等于圆锥体积的3倍，圆锥的体积等于圆柱体积的3分之1，所以圆锥的体积是圆柱的三分之一。
可以用厚纸做一个圆锥，再做一个和它等底等高的圆柱。在空圆柱里装满沙土，然后到入空圆柱里，看看倒几次正好装满。
收起
只有一个道理;在圆柱与圆锥等底等高的情况下圆柱的体积是圆锥体积的3倍.
详细证明需要用到微积分，初中阶段一般是用实验法证明。即用同底等高的圆柱瓶与圆锥瓶，注满水后倒进量杯中，测出两者容积