证明微积分题目证明：+∞ A函数f(x)在[a,+∞]上的广义积分∫ f(x)dx存在,则对任意A≥a,|∫ f(x)dx|≤M,M是常数.a a
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 05:18:25
证明微积分题目证明：+∞ A函数f(x)在[a,+∞]上的广义积分∫ f(x)dx存在,则对任意A≥a,|∫ f(x)dx|≤M,M是常数.a a
证明微积分题目
证明：
+∞ A
函数f(x)在[a,+∞]上的广义积分∫ f(x)dx存在,则对任意A≥a,|∫ f(x)dx|≤M,M是常数.
a a
证明微积分题目证明：+∞ A函数f(x)在[a,+∞]上的广义积分∫ f(x)dx存在,则对任意A≥a,|∫ f(x)dx|≤M,M是常数.a a
对e＝1,存在X,当x1,x2>＝X时,有|积分（x1到x2）f(x)dx|<1（Cauchy收敛原理）,
令x2趋于无穷得 |积分（x1到无穷）f(x)dx|<=1.
于是取M1＝max_{a<=x<=X}|积分（从a到x）f(t)dt|（变上限积分是连续函数,有界闭区间上的连续函数必有最大值）,
再令M＝M1+1,则对任意的A,有
若A<=X,显然有|积分（从a到A）f(x)dx|<=M1
记∫(a到A) f(x)dx＝F(A)，函数f(x)在[a,+∞]上的广义积分存在，则lim(A→＋∞) F(A)存在，由函数极限的局部有界性，存在正数M1，存在正数X，X＞a，使得|F(X)|≤M1。
当A在a到X之间时，|∫(a到A) f(x)dx| ≤ ∫(a到A) |f(x)| dx ≤ ∫(a到X) |f(x)| dx。
记M＝max{M1，∫(a到X) |f(x)|...
全部展开
记∫(a到A) f(x)dx＝F(A)，函数f(x)在[a,+∞]上的广义积分存在，则lim(A→＋∞) F(A)存在，由函数极限的局部有界性，存在正数M1，存在正数X，X＞a，使得|F(X)|≤M1。
当A在a到X之间时，|∫(a到A) f(x)dx| ≤ ∫(a到A) |f(x)| dx ≤ ∫(a到X) |f(x)| dx。
记M＝max{M1，∫(a到X) |f(x)| dx}，则对于任意的A≥a，恒有|∫(a到A) f(x)dx|≤M。
收起