怎样将圆5等分只能用直尺和圆规,过程要清楚一点,还需要证明过程,初高中的知识来证明都OK,但必须证明,我会给你附加分的,
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/08/29 04:53:38
怎样将圆5等分只能用直尺和圆规,过程要清楚一点,还需要证明过程,初高中的知识来证明都OK,但必须证明,我会给你附加分的,
怎样将圆5等分
只能用直尺和圆规,过程要清楚一点,还需要证明过程,初高中的知识来证明都OK,但必须证明,我会给你附加分的,
怎样将圆5等分只能用直尺和圆规,过程要清楚一点,还需要证明过程,初高中的知识来证明都OK,但必须证明,我会给你附加分的,
方法一:首先在纸上用圆规画个圆,然后画出圆的两条相互垂直的直径AC与BD;之后分别用C、D作圆心,用直径BD的半径作弧,两弧交在E点.则OE便近似等于圆的内接正五边形之边长.自A点开始,用OE作半径在圆周上依次截出四个点来,连接相邻的二个点,得到的那个正五边形便叫做圆的内接正五边形(因为它的五个顶点都在圆上).有了此五个顶点.就很易画出五角星了.
方法二:首先在纸上画个圆,画出圆的直径AB来.之后把AB三等分(这个工作可使用有刻度的直尺来作,分点作C与D;过点C作EF垂直于AB,交圆周在E、F;连接ED并且延长和圆周交在H;连接FD,并且延长和圆周交在G;最后连接AH与AG,所以,五角星便近似地画出来.
参考资料:http://yihengwei.bokee.com/viewdiary.14082113.html
方法三:【自己想的,不是很好,但也是种方法】
用直尺测量圆的半径,计算内接五边形边长=2r*sin(72/2)
然后任取圆周一点画圆得两个交点,再一其中一点画圆再得一个交点
重复一次,得五个交点即是内接五边形得五个定点,成功!
我只知道一个极限的做法。。。
楼上的强
圆是360度,除以5等于72度,先画出一条圆的半径,以半径为一边,以圆心为顶点,用圆规做72度角,以此类推!
http://yihengwei.bokee.com/viewdiary.14082113.html
先画出圆O,然后任意画一条直径AB
再过圆心画一条垂直这条直径的直径CD~(垂直的线会画吗??)
画出来的点顺时针依次为ACBD
然后找到半径OB的中点E,
用圆规以E为圆心.
CE为半径做圆弧,交半径AO于点F
而此时的CF即为该圆内接正五边形的边长,(别着急~)
然后以C为起点,以CF为长度,用圆规在圆上一次截取五个点.
而这五个...
全部展开
先画出圆O,然后任意画一条直径AB
再过圆心画一条垂直这条直径的直径CD~(垂直的线会画吗??)
画出来的点顺时针依次为ACBD
然后找到半径OB的中点E,
用圆规以E为圆心.
CE为半径做圆弧,交半径AO于点F
而此时的CF即为该圆内接正五边形的边长,(别着急~)
然后以C为起点,以CF为长度,用圆规在圆上一次截取五个点.
而这五个点等分圆,
这是标准的尺规作图五等分圆.
证明如下:
(直接求值吧)
假设圆的半径为1(也可以是R)
那么就有
CE=1
EO=1/2
勾股定理得
CE=EF=√5/2
而EO=1/2
所以FO=EF-EO=(√5-1)/2
且CO=1
由勾股定理得
CF=[√(10-2√5)]/2
此时根据作图标出弧AC上截得的一点为M
连接AM得到等腰三角形AOC
现在过O作垂线交AC于N
因为等腰三角形中三线和一
所以AN=NC=1/2*CF=[√(10-2√5)]/4
而直角三角形ONC中CO=1
所以
sin
而知道因为角COA为圆五等分圆心角之一
即
而NO平分
即
而sin36=[√(10-2√5)]/4
所以该做法成立!!
这是很直观的证明了,如果需要严谨的证明.那等明天吧太晚了~~~`
(如果不知道sin36可以按计算器,或参阅一下连接中的几种求法.)
收起
正五边形尺规作图:在圆O作相垂直的直径AB和MN,取半径OM中点K,以K为圆心、AK为半径作圆,交直径MN于H,则AH为圆O内接正五边形边长。 证明:为什么AH为圆O的内接正五边形弦长。 设R为圆O半径,正五边形边长=2Rsin[36度] 本题即需要证明∠AOB=72度。 取AB的中点G,并过B作BJ⊥ON于J, OK=R/2,⊿OAK勾股定理得:KA=(√5/2)R=KH OH=KH-OK=(√5/2)R-R/2=(√5-1)R/2 ⊿OAH中:AH^2=OH^2+OA^2={(√5-1)^2/4+1}R^2=(10-2√5)^2R^2/4 AH=(√(10-2√5)/2)R=AB ------【到这里实际就可以根据数值计算得:√(10-2√5)/4=sin[36],只不过是无理数, 不能看到精确值,实际上是绝对相等的。】 G为AB中点,则:BG=AB/2=AH/2=(√(10-2√5)/4)R OG^2=OB^2-BG^2=R^2-(10-2√5)R^2/16=(6+2√5)R^2/16 OG =(√(6+2√5)/4)R 直角梯形BJOA的面积有: S[BJOA]=S[BJO]+S[AOB] (BN+OA)×OJ/2=BN×OJ/2+AB×OG/2 化简得:OA×OJ= AB×OG,代入得: OJ×R=(√(10-2√5)/2)R×(√(6+2√5)/4)R 得:OJ=(√(10+2√5)/4)R BJ^2=OB^2-OJ^2=R^2-((10+2√5)/16)R^2=(6-2√5)R^2/16 得:BJ=(√(6-2√5)/4)R Sin[∠BOG]=BG/OB=√(10-2√5)/4 Sin[∠BOJ]=BJ/OB=BJ/R=√(6-2√5)/4 Cos[∠BOJ]=OJ/OB=OJ/R=√(10+2√5)/4 根据倍角公式sin[2x]=2sin[x]cos[x] Sin[2∠BOJ]=2 Sin[∠BOJ] Cos[∠BOJ] =2×(√(6-2√5)/4)×(√(10+2√5)/4) =√(10-2√5)/4 =Sin[∠BOG] 所以:∠BOG=2∠BOJ 因为∠BOG+∠AOG+∠BOJ=2∠BOG+∠BOJ=5∠BOJ=90度, 所以∠BOJ=18度,所以∠AOB=72度。 故得证。
我用的是黄金分割做出来的,其实横容易