左焦点F（-1,0）的椭圆过点E（1,2√3/3）过点p（1,1）分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD.设m,n分别为线段AB,CD的中点.①椭圆的标准方程②若p为线段AB中点,求k1③若k1+k2=1.求证直线mn恒过定点,并

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/23 20:17:46

左焦点F（-1,0）的椭圆过点E（1,2√3/3）过点p（1,1）分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD.设m,n分别为线段AB,CD的中点.①椭圆的标准方程②若p为线段AB中点,求k1③若k1

左焦点F（-1,0）的椭圆过点E（1,2√3/3）过点p（1,1）分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD.设m,n分别为线段AB,CD的中点.①椭圆的标准方程②若p为线段AB中点,求k1③若k1+k2=1.求证直线mn恒过定点,并
左焦点F（-1,0）的椭圆过点E（1,2√3/3）过点p（1,1）分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD.设m,n分别为线段AB,CD的中点.
①椭圆的标准方程
②若p为线段AB中点,求k1
③若k1+k2=1.求证直线mn恒过定点,并求出定点坐标

左焦点F（-1,0）的椭圆过点E（1,2√3/3）过点p（1,1）分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD.设m,n分别为线段AB,CD的中点.①椭圆的标准方程②若p为线段AB中点,求k1③若k1+k2=1.求证直线mn恒过定点,并
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因焦点在x轴上，令椭圆标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）由焦距定义及椭圆参数关系易知a^2-b^2=1（I）而点E在椭圆上，则1/a^2+4/3b^2=1（II）由（I）（II）解得a^2=3，b^2=2（注意a>b）所以椭圆方程为x^2/3+y^2/2=1 （2）显然P点在椭圆内（因1/3+1/2<1）由点斜式令过P点的直线AB：y-1=k1(x-1)，即y=k1x+(1-k1)令直线AB与椭圆交点A(x1,y1)，B(x2,y2)联立椭圆及直线AB方程得(2+3k1^2)x^2+6k1(1-k1)x+3(1-k1)^2-6=0由韦达定理知x1+x2=6k1(k1-1)/(2+3k1^2)（III）因P为AB中点则由中点坐标公式有(x1+x2)/2=1（IV）由（III）（IV）得k1=-2/3 （3）注意到k1+k2=0令过P点的直线AB：y=k1x+k2，令A(x1,y1)，B(x2,y2)令过P点的直线CD：y=k2x+k1，令C(x3,y3)，D(x4,y4) 依据（2）的结论可知：x1+x2=-6k1k2/(2+3k1^2)，x3+x4=-6k1k2/(2+3k2^2)因A、B在直线AB上，则y1+y2=k1(x1+x2)+2k2=4k2/(2+3k1^2)又C、D在直线CD上，则y3+y4=k2(x3+x4)+2k1=4k1/(2+3k2^2)则由中点坐标公式有：M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)=M(-3k1k2/(2+3k1^2)，2k2/(2+3k1^2))N((x3+x4)/2,(y3+y4)/2)=N(-3k1k2/(2+3k2^2)，2k1/(2+3k2^2)) 令MN的斜率为k，则由斜率公式知k=(-2/9)[2+3(k1^2+k1k2+k2^2)]/[k1k2(k1+k2)]注意到k1+k2=1而(k1+k2)^2=k1^2+2k1k2+k^2则k1^2+k1k2+k2^2=1-k1k2所以k=(2/9)(3k1k2-5)/(k1k2) 由点斜式知直线MN：y-2k2/(2+3k1^2)=k[x+3k1k2/(2+3k1^2)]因3kk1k2/(2+3k1^2)+2k2/(2+3k1^2)={3[(2/9)(3k1k2-5)/(k1k2)]*k1k2+2k2}/(2+3k1^2)=[(2/3)(3k1k2-5)+2k2]/(2+3k1^2)=(2/3)(3k1k2+3k2-5)/(2+3k1^2)=(2/3)[3k1(1-k1)+3(1-k1)-5]/(2+3k1^2)=-2/3所以直线MN：y=kx-2/3即y-(-2/3)=k(x-0)即直线MN过定点(0,-2/3)

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