定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移,求AB中点到y轴距离的最小值,并求出此定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移，求AB中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标。

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/02/02 16:12:25

定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移,求AB中点到y轴距离的最小值,并求出此定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移，求AB中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标。
定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移,求AB中点到y轴距离的最小值,并求出此
定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移，求AB中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标。

定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移,求AB中点到y轴距离的最小值,并求出此定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移，求AB中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标。
首先,设中点M的坐标为：(m,n)
设AB的长度为l：
那么：
A点的坐标就是：(m+lcosθ/2,n+lsinθ/2)
B点的坐标就是：(m-lcosθ/2,n-lsinθ/2)
又：AB长度l=3
故：
A点的坐标就是：(m+3cosθ/2,n+3sinθ/2)
B点的坐标就是：(m-3cosθ/2,n-3sinθ/2)
这里：θ∈(－∞,0)∪(0,＋∞) (注：θ不可能为0,因为无论AB如何摆放都不可能完全水平.)
将A、B的坐标代入抛物线方程：y²=x,可得：
(n+3sinθ/2)²=m+3cosθ/2……①式
(n-3sinθ/2)²=m-3cosθ/2……②式
①、②相加,得到：
4n²+9sin²θ=4m……③
①、②相减,得到：
2nsinθ=cosθ ……④
而M到y轴距离就是M的横坐标m (注：由③式可知：m＞0)
由③、④可以推出：
m=(4n²+9sin²θ)/4=[(cosθ/sinθ)²+9sin²θ]/4
=(9sin²θ+1/sin²θ-1)/4
=(9sin²θ+1/sin²θ)4-1/4
根据不等式性质：
9sin²θ+1/sin²θ≥2√(9sin²θ*1/sin²θ)=6
并且当9sin²θ=1/sin²θ,即：sin²θ=1/3时,9sin²θ+1/sin²θ取得最小值6
∴当sin²θ=1/3时,m取得最小值：
m=(9sin²θ+1/sin²θ)4-1/4=6/4-1/4=5/4
此时：cos²θ=1-sin²θ=2/3
∴cotθ=±√(cos²θ/sin²θ)=±√2
∴由④式：n=cotθ/2=±√2/2
此时M点坐标为：(5/4,√2/2)或：(5/4,－√2/2)
而M到y轴的最小距离,即m的最小值为：m=5/4
手工计算,错了轻拍~

全部展开

求点M到y轴的最短距离，根据抛物线的定义，转化为到准线的最短距离。如图，MJ+JK=MK= (AG+BH)/2=(AF+BF)/2>=AB ，当弦AB过焦点F时，取等号，故此时M到y轴的距离最短，
MJ最短距离是：3-JK=3-(1/4) =11/4
。M到y轴的最短距离11/4
。
由AG=xA +11/4 ，BH=xB +11/4
，且AG+BH=AB=3，求得xA +xB =5/2
，所以AB的中点横坐标是5/4
。再根据AB的长为3就可以求出中点的纵坐标了。(图片为什么不能上传呀？)

收起

AB过焦点（设为F）是距离最短，此时M到准线的距离为（AF+BF）/2=1.5；所以最小值为1.5-0.25=1.25；M的横坐标为1.25；纵坐标也就好求了