设z=(x^2)y-x(y^2),而x=rcosθ,y=rsinθ,求r的偏导数和θ的偏导数

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 04:00:29
设z=(x^2)y-x(y^2),而x=rcosθ,y=rsinθ,求r的偏导数和θ的偏导数设z=(x^2)y-x(y^2),而x=rcosθ,y=rsinθ,求r的偏导数和θ的偏导数设z=(x^2)

设z=(x^2)y-x(y^2),而x=rcosθ,y=rsinθ,求r的偏导数和θ的偏导数
设z=(x^2)y-x(y^2),而x=rcosθ,y=rsinθ,求r的偏导数和θ的偏导数

设z=(x^2)y-x(y^2),而x=rcosθ,y=rsinθ,求r的偏导数和θ的偏导数
有一个容易懂但较笨的办法,把x,y先代入:
z=(x^2)y-x(y^2)=(rcosθ)^2 rsinθ-rcosθ(rsinθ)^2
∂z/∂r=3r^2sinθ(cosθ)^2-3r^2cosθ(sinθ)^2=(3/2)r^2sin2θ(cosθ-sin θ)
∂z/∂θ=r^3(cosθ)^3-2r^3(sinθ)^2cosθ+r^3(sinθ)^3-2r^3(sinθ)(cosθ)^2
=r^3[(cosθ)^3-2(sinθ)^2cosθ+(sinθ)^3-2(sinθ)(cosθ)^2]
=r^3[cosθ)^3+(sinθ)^3-(sin2θ)(cosθ+sinθ)]
=r^3[(cosθ+sinθ)(1-sin2θ/2)-sin2θ)(cosθ+sinθ)]
=r^3[(cosθ+sinθ)(-3/2)sin2θ