一元二次方程 与韦达定理有关的题已知 X1、X2 是方程 x^2-(k-2)x+(k^2+3k+5)=0 的2个实数根（其中k为实数）,则 X1^2+X2^2 的最大值是______.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 18:35:26
一元二次方程 与韦达定理有关的题已知 X1、X2 是方程 x^2-(k-2)x+(k^2+3k+5)=0 的2个实数根（其中k为实数）,则 X1^2+X2^2 的最大值是______.
一元二次方程 与韦达定理有关的题
已知 X1、X2 是方程 x^2-(k-2)x+(k^2+3k+5)=0 的2个实数根（其中k为实数）,则 X1^2+X2^2 的最大值是______.
一元二次方程 与韦达定理有关的题已知 X1、X2 是方程 x^2-(k-2)x+(k^2+3k+5)=0 的2个实数根（其中k为实数）,则 X1^2+X2^2 的最大值是______.
有2个实数根
判别式=(k-2)^2-4(k^2+3k+5)
=k^2-4k+4-4k^2-12k-20
=-3k^2-16k-16>=0
3k^2+16k+16<=0
(3k+4)(k+4)<=0
-4<=k<=-4/3
x1+x2=k-2,x1*x2=k^2+3k+5
x1^2+x2^2
=(x1+x2)^2-2x1x2
=(k-2)^2-2(k^2+3k+5)
=k^2-4k+4-2k^2-6k-10
=-k^2-10k-6
=-(k+5)^2+19
-4<=k<=-4/3
所以k=-4时,最大值=18
x1+x2=k-2
x1*x2=k^2+3k+5
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=(k-2)^2-2*(k^2+3k+5)
=-k^2-10k-6
当k=-5时
最大值为19
设M=X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1X2
=(K-2)^2-2(K^2+3k+5)
展开即是M关于k的一个一元二次函数
由判别式Δ=（k-2)^2-4(K^2+3K+5)>=0
可得K的取值范围
则定轴定区间求M的最大值（初中用图像也可以解）
我计算能力不行，麻烦你自己算
由判别式>=0 即(k-2)^2-4(k^2+3k+5)>=0 可得-4<=k<=-4/3
再有韦达定理x1+x2=k-2 x1x2=k^2+3k+5
于是有 x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(k-2)^2-2(k^2+3k+5)=-k^2-10k-6
=-(k+5)^2+19
因为-4<=k<=-4/3易得当k=-4时有最大值
全部展开
由判别式>=0 即(k-2)^2-4(k^2+3k+5)>=0 可得-4<=k<=-4/3
再有韦达定理x1+x2=k-2 x1x2=k^2+3k+5
于是有 x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(k-2)^2-2(k^2+3k+5)=-k^2-10k-6
=-(k+5)^2+19
因为-4<=k<=-4/3易得当k=-4时有最大值
所以最大值是18
（千万别算成19了，那是没有考虑判别式所造成的错误）
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