已知△ABC的重心的直线交AB边于Q,交AC边于P,设向量AP=λ向量AB,向量AQ=μ向量AC,求证1/λ+1/μ=3
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 14:31:14
已知△ABC的重心的直线交AB边于Q,交AC边于P,设向量AP=λ向量AB,向量AQ=μ向量AC,求证1/λ+1/μ=3
已知△ABC的重心的直线交AB边于Q,交AC边于P,设向量AP=λ向量AB,向量AQ=μ向量AC,求证1/λ+1/μ=3
已知△ABC的重心的直线交AB边于Q,交AC边于P,设向量AP=λ向量AB,向量AQ=μ向量AC,求证1/λ+1/μ=3
你题目的叙述有点乱.如图.
AD 是中线,G 是重心,那么 AG=2GD ,
因此 AG=2/3*AD=2/3*1/2*(AB+AC)=1/3*AB+1/3*AC=1/(3λ)*AP+1/(3μ)*AQ ,
由于 G、P、Q 三点共线,因此 1/(3λ)+1/(3μ)=1 ,
所以 1/λ+1/μ=3 .
题目叙述稍微有点问题，依据题意，应该是：向量AQ=λ向量AB,向量AP=μ向量AC
设重心是O，BC边中点是D，则：AO=(2/3)AD=(2/3)*2(AB+AC)=(AB+AC)/3
故：OQ=AQ-AO=λAB-(AB+AC)/3=(λ-1/3)AB-AC/3
PO=AO-AP=(AB+AC)/3-μAC=AB/3+(1/3-μ)AC，因PO与OQ是共线向量
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题目叙述稍微有点问题，依据题意，应该是：向量AQ=λ向量AB,向量AP=μ向量AC
设重心是O，BC边中点是D，则：AO=(2/3)AD=(2/3)*2(AB+AC)=(AB+AC)/3
故：OQ=AQ-AO=λAB-(AB+AC)/3=(λ-1/3)AB-AC/3
PO=AO-AP=(AB+AC)/3-μAC=AB/3+(1/3-μ)AC，因PO与OQ是共线向量
故存在关系：OQ=kPO，即：(λ-1/3)AB-AC/3=k*(AB/3+(1/3-μ)AC)
即：(λ-1/3)=k/3，-1/3=k(1/3-μ)，即：λ=1/3+k/3=(k+1)/3，μ=1/3+1/(3k)=(k+1)/(3k)
故：1/λ+1/μ=3/(k+1)+3k/(k+1)=3(k+1)/(k+1)=3
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