如图,AB是圆心O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F.1.求证：EC=DF2.若AE=1,EF=4,BF=3.求圆心O的直径.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 20:34:29
如图,AB是圆心O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F.1.求证：EC=DF2.若AE=1,EF=4,BF=3.求圆心O的直径.
如图,AB是圆心O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F.
1.求证：EC=DF
2.若AE=1,EF=4,BF=3.求圆心O的直径.
如图,AB是圆心O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F.1.求证：EC=DF2.若AE=1,EF=4,BF=3.求圆心O的直径.
1 证明:过O点做OH垂直CD H为垂足
因为 OH垂直CD 所以 CH=DH
因为 OH垂直CD AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F 所以 EH=FH
因为 CH=DH EH=FH 所以EC=DF
2 设直线BF交圆于G点 连结 AG
(1) 当CD与AB 不相交时 因为 AB为直径 所以 角AGF=90
则四边形AEFG为矩形 AG=EF=4 FG=AE=1 所以 BG=BF-FG=3-1=2
在直角三角形ABG中 AB平方=AG平方+BG平方=4平方+2平方=20
所以 AB=2倍根号5
(2) 当CD与AB 相交时 因为 AB为直径 所以 角AGF=90
则四边形AEFG为矩形 AG=EF=4 FG=AE=1 所以 BG=BF+FG=3+1=4
在直角三角形ABG中 AB平方=AG平方+BG平方=4平方+4平方=32
所以 AB=4倍根号2
过 O作OH⊥CD于H
∵ O为圆心，CD为弦，OH⊥CD
∴ CH=DH
∵ AE⊥CD，BF⊥CD
∴ AE//BF
∴ OA/OB=EH/FH
∵ OA=OB
∴ EH=FH
∵ CH=DH
∴ EH-CH=FH-DH
即 EC=DF
作 AG⊥BF交BF于G
则 AEFG为矩形，GF=AE=1 ...
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过 O作OH⊥CD于H
∵ O为圆心，CD为弦，OH⊥CD
∴ CH=DH
∵ AE⊥CD，BF⊥CD
∴ AE//BF
∴ OA/OB=EH/FH
∵ OA=OB
∴ EH=FH
∵ CH=DH
∴ EH-CH=FH-DH
即 EC=DF
作 AG⊥BF交BF于G
则 AEFG为矩形，GF=AE=1 AG=EF=4
GB=BF-GF=3-1=2
AB^2=AG^2+BG^2=16+4=20
故圆心O的直径: AB=√20=2√5
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