A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D,若向量OC ＝m向量OA+n向量OB,则m+n的取值范围是（ ）．求详解,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/18 14:32:30
A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D,若向量OC ＝m向量OA+n向量OB,则m+n的取值范围是（ ）．求详解,
A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D,若向量OC ＝m向量OA+n向量OB,
则m+n的取值范围是（ ）．
求详解,
A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D,若向量OC ＝m向量OA+n向量OB,则m+n的取值范围是（ ）．求详解,
由图知：OD=kOC,k
延长AO交⊙O于E，过C作CF∥EO交OB于F、作CG∥BO交OE于G。令⊙O的半径为r。∵CF∥GO、CG∥FO，∴OFCG是平行四边形，∴向量OC＝向量OG＋向量OF。······①∵向量OC＝m向量OA＋n向量OB＝m（－向量OE）＋n向量OB。······②又O、G、E共线；O、F、B共线，∴由①、②，得：OG＝mOE＝mr、OF＝nOB＝nr。∵OFCG是平行四边形，∴FC＝OG＝mr，...
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延长AO交⊙O于E，过C作CF∥EO交OB于F、作CG∥BO交OE于G。令⊙O的半径为r。∵CF∥GO、CG∥FO，∴OFCG是平行四边形，∴向量OC＝向量OG＋向量OF。······①∵向量OC＝m向量OA＋n向量OB＝m（－向量OE）＋n向量OB。······②又O、G、E共线；O、F、B共线，∴由①、②，得：OG＝mOE＝mr、OF＝nOB＝nr。∵OFCG是平行四边形，∴FC＝OG＝mr，显然有：OC＝r。设∠OFC＝θ，则由余弦定理，有：OC^2＝FC^2＋OF^2－2FC×OFcosθ，∴r^2＝（mr）^2＋（nr）^2－2（mr）（nr）cosθ，∴1＝m^2＋n^2－2mncosθ，∴（m＋n）^2－2mn－2mncosθ＝1，∴（m＋n）^2－2（1＋cosθ）mn＝1。······③很明显，m、n都是正数，∴m＋n≧2√（mn），∴（m＋n）^2≧4mn，∴－［（1＋cosθ）/2］（m＋n）^2≦－2（1＋cosθ）mn。······④③＋④，得：（m＋n）^2－［（1＋cosθ）/2］（m＋n）^2≦1，∴（1－cosθ）（m＋n）^2≦2，∴（m＋n）^2≦2/（1－cosθ）。······⑤∵0°＜θ＜180°，∴－1＜cosθ＜1，∴－1＜－cosθ＜1，∴0＜1－cosθ＜2，∴1/（1－cosθ）＞1/2，∴2/（1－cosθ）＞1。······⑥由⑤、⑥，得：（m＋n）^2≦1，∴0＜m＋n≦1。∴（m＋n）的取值范围是（0，1］。
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