用向量法证明：对角线互相平分且相等的四边形是矩形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 22:43:49
用向量法证明：对角线互相平分且相等的四边形是矩形
用向量法证明：对角线互相平分且相等的四边形是矩形
用向量法证明：对角线互相平分且相等的四边形是矩形
AB为向量AB
题目翻译：平面上四边形ABCD,AC交BD于O点
若AO=BO=CO=DO
求证 ABCD为矩形
证明：
AB.BC=
AO+~OB)(~BO+~OC)=
AO~BO+~AO~OC+~OB~BO+~OB~OC
因为~AO=~OC带入得
OC~BO+~OC~OC+~OB~BO+~OB~OC=
OC~BO+|~OC|2-|~OB|2+~OB~OC=
OC(~BO+~OB)+|~OC|2-|~OB|2=
OC|2-|~OB|2又有OC=OB,带入得
0
AB.BC=0所以AB⊥BC
同理可证BC⊥CD CD⊥DA DA⊥AB
所以AB‖CD AC‖BD 且AB⊥BC
所以ABCD为矩形
证：首先在一平面上画一平行四边形ABCD，（以下所用的线段表示相应向量，如AB表示向量AB，*表示点乘）。
对角线向量：AC＝AB+BC
DB＝DA+AB＝CB+AB
对角线相等，有：｜AC｜＝｜DB｜
即，｜AB+BC｜＝｜CB+AB｜
两边平方得：2AB*BC＝2AB*CB
＝>｜AB｜｜BC｜cos(AB,BC)=｜AB｜｜CB｜co...
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证：首先在一平面上画一平行四边形ABCD，（以下所用的线段表示相应向量，如AB表示向量AB，*表示点乘）。
对角线向量：AC＝AB+BC
DB＝DA+AB＝CB+AB
对角线相等，有：｜AC｜＝｜DB｜
即，｜AB+BC｜＝｜CB+AB｜
两边平方得：2AB*BC＝2AB*CB
＝>｜AB｜｜BC｜cos(AB,BC)=｜AB｜｜CB｜cos(AB,CB)
＝>cos(AB,BC)=cos(AB,CB)----cos(AB,BC)表示向量AB与向量BC夹角的余弦。
即两角的余弦相等，又两角均在0到180度范围内，所以两角相等。
又因为两角和是180度，所以两角均为90度，相邻边垂直，平行四边形是矩形。
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