点G是△ABC内一点,向量AF=λFB,向量BD=μDC,向量CE=νEA,求λμν关系其中F在AB上，D在BC上，E在CA上。G是CF,AD，BE的交点
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 13:22:57
点G是△ABC内一点,向量AF=λFB,向量BD=μDC,向量CE=νEA,求λμν关系其中F在AB上，D在BC上，E在CA上。G是CF,AD，BE的交点
点G是△ABC内一点,向量AF=λFB,向量BD=μDC,向量CE=νEA,求λμν关系
其中F在AB上，D在BC上，E在CA上。G是CF,AD，BE的交点
点G是△ABC内一点,向量AF=λFB,向量BD=μDC,向量CE=νEA,求λμν关系其中F在AB上，D在BC上，E在CA上。G是CF,AD，BE的交点
【解】
△AFG与△BFG的底分别是AF与BF,高相同,所以二者的面积比
S△AFG/S△BFG= AF/BF,
S△AFG = AF/BF •S△BFG.
△AFC与△BFC的底分别是AF与BF,高相同,所以二者的面积比
S△AFC/S△BFC= AF/BF,
S△AFC= AF/BF• S△BFC.
所以S△AFC- S△AFG = AF/BF• S△BFC- AF/BF •S△BFG,
即S△AGC= AF/BF•S△BGC.
S△AGC/ S△BGC= AF/BF.
同理
S△AGB/ S△AGC= BD/DC.
S△BGC/ S△BGA= CE/EA.
所以
AF/BF •BD/DC• CE/EA= S△AGC/ S△BGC• S△AGB/ S△AGC •S△BGC/ S△BGA
=1,
即λμν=1.
下面是一道类似的题目,供参考：
点O 是△ABC中一点,AD,BE,CF过点O 分别交BC、CA、AB交点D,E,F,求证：OD/AD+OE/BE+OF/CF=1.
【证明】
作AM⊥BC,ON⊥BC,垂足分别为M、N
则S△BOC/S△ABC
＝(BC*ON/2)/(BC*AM/2)
＝ON/AM
因为AM⊥BC,ON⊥BC
所以ON‖AM
所以OD/AD＝ON/AM
所以OD/AD＝S△BOC/S△ABC
同理可证
OE/BE＝S△AOC/S△ABC
OF/CF＝S△AOB/S△ABC
所以OD/AD+OE/BE+OF/CF
＝S△BOC/S△ABC＋S△AOC/S△ABC＋S△AOB/S△ABC
＝(S△BOC＋S△AOC＋S△AOB)/S△ABC
＝S△ABC/S△ABC
＝1.