求矩阵特征值和特征向量,A=1/4 |2 1 1 || 1 2 1 || 1 1 2 |
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 17:12:12
求矩阵特征值和特征向量,A=1/4 |2 1 1 || 1 2 1 || 1 1 2 |
求矩阵特征值和特征向量,
A=1/4 |2 1 1 |
| 1 2 1 |
| 1 1 2 |
求矩阵特征值和特征向量,A=1/4 |2 1 1 || 1 2 1 || 1 1 2 |
A=
1/2 1/4 1/4
1/4 1/2 1/4
1/4 1/4 1/2
解方程|A-xE|=0,化简得到
(x-1)(x-1/4)(x-1/4)=0
所以特征值是1,1/4,1/4
x=1对应的特征向量：
A-1E=
-1/2 1/4 1/4
1/4 -1/2 1/4
1/4 1/4 -1/2
求(A-1E)x=0的基础解系为[1 1 1]',所以x=1的特征向量为a1=[1 1 1]'
x=1/4对应的特征向量：
A-(1/4)E=
1/4 1/4 1/4
1/4 1/4 1/4
1/4 1/4 1/4
求[A-(1/4)E]x=0的基础解系为[-1 0 1]'和[-1 1 0]',所以x=1/4的特征向量为a2=[-1 0 1]'和a3=[-1 1 0]'
对角化:
P=[a1 a2 a3]=
1 -1 -1
1 0 1
1 1 0
则
P^(-1) * A * P =
1 0 0
0 1/4 0
0 0 1/4
这个矩阵的太不方便打了。。。随便找一本高等代数（线性代数）的书上面就有，或者你要是懒得看就直接用Matlab之类的算一下
分析: 若α是A的属于特征值λ的特征向量
则α是kA的属于kλ的特征向量
由此结论可简化运算
解: 设 B =
2 1 1
1 2 1
1 1 2
B的特征多项式 |B-λE| =
2-λ 1 1
1 2-λ 1
1 1 2-λ
c1+c2+c3
全部展开
分析: 若α是A的属于特征值λ的特征向量
则α是kA的属于kλ的特征向量
由此结论可简化运算
解: 设 B =
2 1 1
1 2 1
1 1 2
B的特征多项式 |B-λE| =
2-λ 1 1
1 2-λ 1
1 1 2-λ
c1+c2+c3
4-λ 1 1
4-λ 2-λ 1
4-λ 1 2-λ
r2-r1,r3-r1
4-λ 1 1
0 1-λ 0
0 0 1-λ
= (4-λ)(1-λ)^2.
所以B的特征值为 4,1,1
对应A的特征值为 1,1/4,1/4.
B-4E=
-2 1 1
1 -2 1
1 1 -2
-->
r3+r1+r2, r1+2r2
0 -3 3
1 -2 1
0 0 0
-->
0 1 -1
1 -2 1
0 0 0
-->
0 1 -1
1 0 -1
0 0 0
得(B-4E)x=0的基础解系为 α1=(1,1,1)^T.
同样, B-E =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
-->
1 1 1
0 0 0
0 0 0
得(B-E)x=0的基础解系为 α2=(1,-1,0)^T,α3=(1,0,-1)^T.
令P=(α1,α2,α3)=
1 1 1
1 -1 0
1 0 -1
则P可逆, 且 P^-1AP=diag(1,1/4,1/4).
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