已知函数f(x)=sinx,求证[f(x1)+f(x2)]/2≤f[(x1+x2)/2]这个命题不成立 请问如何证明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 07:30:23
已知函数f(x)=sinx,求证[f(x1)+f(x2)]/2≤f[(x1+x2)/2]这个命题不成立 请问如何证明
已知函数f(x)=sinx,求证[f(x1)+f(x2)]/2≤f[(x1+x2)/2]
这个命题不成立 请问如何证明
已知函数f(x)=sinx,求证[f(x1)+f(x2)]/2≤f[(x1+x2)/2]这个命题不成立 请问如何证明
[f(x1)+f(x2)]/2=[sinx1+sinx2]/2=[2sin(x1+x2)/2*cos(x1-x2)/2]/2
=sin[(x1+x2)/2]*cos[(x1-x2)/2]
(1) 当0≤cos[(x1-x2)/2]≤1时
sin[(x1+x2)/2]*cos[(x1-x2)/2]≤sin[(x1+x2)/2]=f[(x1+x2)/2]成立
(2) 当-1≤cos[(x1-x2)/2]
典型的证明f(x)=sinx是凸函数
没学过的话就设
设x1，x2属于[2kπ,1/2π+2kπ]
(sinx1+sinx2)/2 - sin[(x1+x2)/2] -------->sinx1=2sin1/2x1cos1/2x1 （倍角公式）；第二项展开
= sin1/2x1cos1/2x1+ sin1/2x2cos1/2x2 - sin1/2x1cos1/2x...
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典型的证明f(x)=sinx是凸函数
没学过的话就设
设x1，x2属于[2kπ,1/2π+2kπ]
(sinx1+sinx2)/2 - sin[(x1+x2)/2] -------->sinx1=2sin1/2x1cos1/2x1 （倍角公式）；第二项展开
= sin1/2x1cos1/2x1+ sin1/2x2cos1/2x2 - sin1/2x1cos1/2x2 - sin1/2x2cos1/2x1
=sin1/2x1(cos1/2x1-cos1/2x2)+sin1/2x2(cos1/2x2-cos1/2x1)
=(sin1/2x1-sin1/2x2)(cos1/2x1-cos1/2x2)
同理可证
x1，x2属于[1/2π+2kπ,π+2kπ]；
x1，x2属于[π+2kπ,3/2π+2kπ]；
x1，x2属于[3/2π+2kπ,2π+2kπ].
但是x1，x2未规定区间情况下 此命题不成立 因为(sin1/2x1-sin1/2x2)(cos1/2x1-cos1/2x2) 符号无法确定
收起
令x1=∏/2,x2=5∏/2 ∏是派，代表180度
代入所证明的式子中左边等于1，右边=-1，左边大于右边，所以这个命题不成立