设a为质数,b为正整数,且9(2a+b)(2)=509(4a+511b),求a,b值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 03:17:57
设a为质数,b为正整数,且9(2a+b)(2)=509(4a+511b),求a,b值.
设a为质数,b为正整数,且9(2a+b)(2)=509(4a+511b),求a,b值.
设a为质数,b为正整数,且9(2a+b)(2)=509(4a+511b),求a,b值.
509是质数,2a+b为509的整数倍,设2a+b=509K（K为整数）
代入,得:9KK*509*509=509(509b+2*509k)
9KK=b+2K=509K-2a+2K
2a=(511-9K)k
因为a是质数,所以K=1或511-9K=1（K不等于整数,排除）或K=2(a=493=17*29,非质数,排除)或511-9K=2(K非整数,排除)
所以K=1,a=251,b=509-2*251=7
（1）式即(63509ab) 2 =4511509ab，设m =63509ab，n =4511509ab，则n = m 2， b =50963ma=5094511na （2），故3 n – 511 m + 6 a = 0，所以3 m 2 – 511 m + 6 a = 0 （3），由（1）式可知，(...
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（1）式即(63509ab) 2 =4511509ab，设m =63509ab，n =4511509ab，则n = m 2， b =50963ma=5094511na （2），故3 n – 511 m + 6 a = 0，所以3 m 2 – 511 m + 6 a = 0 （3），由（1）式可知，( 2 a + b ) 2能被质数509整除，于是2 a + b能被509整除，故m为整数， 即关于m的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式△= 511 2 – 72 a为完全平方数。 不妨设△= 511 2 – 72 a = t 2（t为自然数），则72 a = 511 2 – t 2 = ( 511 + t ) ( 511 – t )， 由于511 + t和511 – t的奇偶性相同，且511 + t ≥ 511，所以只可能有以下几种情况： ①511365112tat，②511185114tat，③511125116tat，④511651112tat，两式相加分别得 36 a + 2 = 1022，18 a + 4 = 1022，12 a + 6 = 1022，6 a + 12 = 1022，均没有整数解； ⑤511451118tat，⑥511251136tat，两式相加分别得4 a + 18 = 1022，解得a = 251； 2 a + 36 = 1022，解得a = 493，而493 = 17 × 29不是质数，故舍去。综合可知a = 251。 此时方程（3）的解为m = 3或m =5023（舍去）。 把a = 251，m = 3代入（2）式，得b =509362513= 7。
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