三角函数 正弦余弦定理在△ABC中,若a³+b³-c³/a+b-c=c²,sinA·sinB=3/4,试判断△ABC的形状.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 20:09:28
三角函数 正弦余弦定理在△ABC中,若a³+b³-c³/a+b-c=c²,sinA·sinB=3/4,试判断△ABC的形状.
三角函数 正弦余弦定理
在△ABC中,若a³+b³-c³/a+b-c=c²,sinA·sinB=3/4,试判断△ABC的形状.
三角函数 正弦余弦定理在△ABC中,若a³+b³-c³/a+b-c=c²,sinA·sinB=3/4,试判断△ABC的形状.
解
（a³+b³-c³)/(a+b-c)=c²
a³+b³-c³=(a+b-c)c²=(a+b)c²-c³
a³+b³=(a+b)c²
(a+b)c²=a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
c²=a²-ab+b²
a²+b²-c²=ab
(a²+b²-c²)/(2ab)=1/2
结合余弦定理：cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=1/2
再结合0º＜C＜180º可得：C=60º
A+B=120º
3/4=sinAsinB=(1/2)[cos(A-B)-cos(A+B)]
3/2=cos(A-B)-cos120º=cos(A-B)+(1/2)
∴cos(A-B)=1
结合-120º＜A-B＜120º可知：A=B=60º
∴该三角形为等边三角形.
a^3+b^3-c^3=c^2(a+b-c)
a^3+b^3-c^3=ac^2+bc^2-c^3
a^3+b^3=c^2(a+b)
(a+b)(a^2-ab+b^2)=c^2(a+b)
a^2+b^2-ab=c^2
由余弦定理a^2+b^2-c^2=2abcosC得：
a^2+b^2=c^2+2abcosC
∵a^2+b^2=c^2+ab
全部展开
a^3+b^3-c^3=c^2(a+b-c)
a^3+b^3-c^3=ac^2+bc^2-c^3
a^3+b^3=c^2(a+b)
(a+b)(a^2-ab+b^2)=c^2(a+b)
a^2+b^2-ab=c^2
由余弦定理a^2+b^2-c^2=2abcosC得：
a^2+b^2=c^2+2abcosC
∵a^2+b^2=c^2+ab
∴cosC=1/2
∴C＝60°
∴A+B=120°
sinAsinB
=sinAsin[(2π/3)-A]
=sinA(sin2π/3cosA-cos2π/3sinA)
=(根号3/4)sin2A-1/4+(1/4)cos2A
=sin(2A-π/6)-1/4
=3/4
∴sin(2A-π/6)=1.
又∵-π/6<2A-π/6<11π/6,
∴2A-π/6=π/2,
A=π/3.
∴三角形为等边三角形
收起
如图 求θ 答案见图片，不知你的角度要求精度是多少，我只保留了小数点后两位。