证明极限的一道题若limXn(n趋于无穷)=a,则lim(n趋于无穷)|Xn|=|a|,反之是否成立,为什么?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 18:52:33
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证明极限的一道题若limXn(n趋于无穷)=a,则lim(n趋于无穷)|Xn|=|a|,反之是否成立,为什么?
证明极限的一道题
若limXn(n趋于无穷)=a,则lim(n趋于无穷)|Xn|=|a|,反之是否成立,为什么?
证明极限的一道题若limXn(n趋于无穷)=a,则lim(n趋于无穷)|Xn|=|a|,反之是否成立,为什么?
因为 limXn(n趋于无穷)=a
即对任意e>0,存在N>0,n>N时
|xn-a|
||xn|-|a||≤|xn-a|
从而
对刚才的e,及N,又
||xn|-|a||
lim(n趋于无穷)|Xn|=|a|
反之未必成立
如
xn=1,-1,1,-1,.
∵lim(Xn)=a
∴对于任意的n，存在正整数N，使得当n>N时，|Xn-a|<ε成立
而||Xn|-|a||≤|Xn-a|<ε
即对于任意的n，存在正整数N，使得当n>N时，||Xn|-|a||<ε成立
∴lim(|Xn|)=|a|
反之，不成立
比如Xn=(-1)^n
lim(|Xn|)=1
但是Xn极限不存在
前面成立是由于极限的保号性，Xn和a同号绝对值后必等，反之Xn可能趋于a或-a，不成立
lim | |X(n)|-|a| | <= lim |X(n)-a| = 0, 所以lim | |X(n)|-|a| | = 0
反之不成立，比如X(n)=(-1)^n
举个反例即可a《0时不成立
证明极限的一道题若limXn(n趋于无穷)=a,则lim(n趋于无穷)|Xn|=|a|,反之是否成立,为什么?
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