(线性代数题)证明向量组A:a1,a2,...an 与向量组B:b1,b2,.bn等阶设,b1=a2+a3+...+an,b2=a1+a3+...+an,.bn=a1+a2+...+a(n-1)是等价,打错了.......

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 13:55:31
(线性代数题)证明向量组A:a1,a2,...an与向量组B:b1,b2,.bn等阶设,b1=a2+a3+...+an,b2=a1+a3+...+an,.bn=a1+a2+...+a(n-1)是等价,

(线性代数题)证明向量组A:a1,a2,...an 与向量组B:b1,b2,.bn等阶设,b1=a2+a3+...+an,b2=a1+a3+...+an,.bn=a1+a2+...+a(n-1)是等价,打错了.......
(线性代数题)证明向量组A:a1,a2,...an 与向量组B:b1,b2,.bn等阶
设,b1=a2+a3+...+an,b2=a1+a3+...+an,.bn=a1+a2+...+a(n-1)
是等价,打错了.......

(线性代数题)证明向量组A:a1,a2,...an 与向量组B:b1,b2,.bn等阶设,b1=a2+a3+...+an,b2=a1+a3+...+an,.bn=a1+a2+...+a(n-1)是等价,打错了.......
知识点: 向量组a1,...,as 可由向量组b1,...,bt 线性表示的充分必要条件是存在矩阵K满足
(a1,...,as )=(b1,...,bt )K.
证明:
因为 (b1,b2,.bn)=(a1,a2,...an)K
其中 K =
0 1 1 ... 1
1 0 1 ... 1
1 1 0 ... 1
... ...
1 1 1 ... 0
即B组可由A组线性表示
由于 |K| = (n-1) (-1)^(n-1) ≠ 0
所以 K 可逆.
所以 (b1,b2,.bn) K^-1 =(a1,a2,...an)
所以 A组可由B组线性表示.
所以 两个向量组等价.

结论:如果两个向量组可以互相线性表示,则这两个向量组等价(不是等阶)。
由已知,B可由A线性表示;
同时,b1+b2+...+bn=(n-1)(a1+a2+...+an),
因此,a1+a2+.....+an=(b1+b2+....+bn)/(n-1),
将 b1、b2、......、bn 的表达式分别代入可得
a1+b1=a2+b2=......=an+b...

全部展开

结论:如果两个向量组可以互相线性表示,则这两个向量组等价(不是等阶)。
由已知,B可由A线性表示;
同时,b1+b2+...+bn=(n-1)(a1+a2+...+an),
因此,a1+a2+.....+an=(b1+b2+....+bn)/(n-1),
将 b1、b2、......、bn 的表达式分别代入可得
a1+b1=a2+b2=......=an+bn=(b1+b2+....+bn)/(n-1),
即 a1=(b1+b2+....+bn)/(n-1)-b1,a2=(b1+b2+.....+bn)/(n-1)-b2,。。。。,an=(b1+b2+....+bn)/(n-1)-bn。
上式说明,A能由B线性表示。
所以 A、B 等价。

收起

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