已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,角PDA为45度,求证：MN垂直面PCD
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/18 10:48:12
已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,角PDA为45度,求证：MN垂直面PCD
已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,角PDA为45度,求证：MN垂直面PCD
已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,角PDA为45度,求证：MN垂直面PCD
证明：设AC交BD于点O,取CD的中点Q点.
在三角形PAC中,ON是中位线,
所以ON//PA,且PA=1/2PA.
已知PA垂直于矩形ABCD所在平面,
所以PA垂直CD,
所以ON垂直CD;OM是三角形ABC的中位线,
所以OM//AD,且OM=1/2AD.
四边形ABCD是矩形,
所以AD垂直CD,所以OM垂直CD,CD垂直平面OMN,所以CD垂直MN.
在三角形PDC中,NQ是中位线,QN//PD,又OQ//AD
所以角NQO=角PDA=45.ON//PA,PA垂直ABCD所以平面,
所以ON垂直ABCD所在平面,
则ON垂直OQ,所以角ONQ=45,
ON=1/2PA,OM=1/2AD,
所以OM=ON,角MNO=45,
所以角MNQ=90,即MN垂直NQ.
NQ和CD是两条相交直线,
所以MN垂直平面PCD.
以点A为原点,AB为X轴，AD为Y轴，AP为Z轴建立空间直角坐标系。
设AB=b,AD=AP=a
则有B(b,0,0) C(b,a,0) → →
D(0,a,0) P(0,0,a) 可知PD=（0，a,-a） PC=(b,a,-a)
M(b/2,0,0) N(b/2,a/2,a/2)
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以点A为原点,AB为X轴，AD为Y轴，AP为Z轴建立空间直角坐标系。
设AB=b,AD=AP=a
则有B(b,0,0) C(b,a,0) → →
D(0,a,0) P(0,0,a) 可知PD=（0，a,-a） PC=(b,a,-a)
M(b/2,0,0) N(b/2,a/2,a/2)
→
→ MN=(0,a/2,a/2)
设面ACD法向量为n=(x,y,z)
→ → → →
满足PD·n=0 PC·n=0
则有ay-az=0 bx+ay-az=0
→
得到面ACD其中一个法向量No=(0,1,1)
→ →
因为a/2*No= MN
→ →
No‖MN
又No⊥面ACD
所以MN⊥面ACD
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