已知PA垂直于ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点,求证（1）MN平行于平面PAD,（2）平面...已知PA垂直于ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点,求证（1）MN平行于平面PAD,（2）平面PMC垂直平面
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/11 02:08:22
已知PA垂直于ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点,求证（1）MN平行于平面PAD,（2）平面...已知PA垂直于ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点,求证（1）MN平行于平面PAD,（2）平面PMC垂直平面
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已知PA垂直于ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点,求证（1）MN平行于平面PAD,（2）平面PMC垂直平面PDC
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证明：
⑴
设PD的中点为E,连接AE、NE
∵N、E分别是PC、PD的中点
∴NE∥CD且NE＝1/2CD
又四边形ABCD是矩形
∴AB∥CD且AB＝CD
∴NE∥AB且NE＝1/2AB
又M是AB的中点
∴AM＝1/2AB
∴AM＝NE且AM∥NE
故四边形AMNE是平行四边形
∴MN∥AE
而AE在平面PAD内,MN不在平面PAD内
∴MN∥平面PAD
⑵
∵PA＝AD,E是PD的中点
∴AE⊥PD
又PA⊥平面ABCD,而CD在平面ABCD内
∴PA⊥CD
而CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE
∵PD∩CD＝D
∴AE⊥平面PDC
而MN∥AE
∴MN⊥平面PDC
又MN在平面PMC内
∴平面PMC⊥平面PDC.
1）方法一：取PD中点E，连接NE，AE ∴MN// 面PAD； 2）∵PA=AD，∴△PAD为等腰直角三角形 且 CD∩PD=D ，则 AE ⊥平面PDC 1）方法二：取CD的中点Q，连接MQ、NQ 利用中位线，证明MQ、NQ分别平行于AD、PD，进而可得平面MNQ//平面PAD，故MN//平面PAD。
则 EN=1/2CD=1/2AB=AM，
且 EN//CD//AB//AM，
∴ 四边形AMNE为平行四边形，
∴ MN// AE，又MN
面PAD，AE
面PAD
又 E为PD中点， ∴AE⊥PD
∵PA⊥平面ABCD
∴ PA⊥CD
又∵四边形ABCD是矩形
AD⊥CD
且 PA∩AD=D ， PA、AD平面PAD ，
∴CD⊥平面PAD， 则AE⊥CD
由1）知 MN// AE ∴MN⊥平面PDC。