已知正方形ABCD内点P到A,B,C三点的距离之和的最小值为根号2+根号6.求此正方形的边长,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 01:16:26
已知正方形ABCD内点P到A,B,C三点的距离之和的最小值为根号2+根号6.求此正方形的边长,
已知正方形ABCD内点P到A,B,C三点的距离之和的最小值为根号2+根号6.求此正方形的边长,
已知正方形ABCD内点P到A,B,C三点的距离之和的最小值为根号2+根号6.求此正方形的边长,
将三角形ABP绕点B逆时针旋转60度,A到A撇,P到P撇.PA+PB+PC就转换成了A撇+PP撇+PC,根据两点之间线段最短,A撇,P撇,P,C共线时有最小值.即线段A撇C=根号2+根号6.
过A撇作A撇H垂直直线BC于点H.则有角HBA撇=30度.
设A撇H=x,则HB=根号3x,A撇B等于2x（正方形边长）,
在直角三角形A撇HC中应用勾股定理.
x^2+(2x+根号3x)^2=（根号2+根号6）^2.
易得 x=1.所以正方形边长为2.
连接AC，P必在三角形ABC内
1）P必在BD上。
（这步证明比较麻烦）
2）设角PAD=α=角PCD，AC=2a
PA+PB+PC=2a/cosα+a-atanα
=a+a(2/cosα-tanα）
设t=2/cosα-tanα
t*cosα=2-sinα
t^2(1-sin^2α）...
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连接AC，P必在三角形ABC内
1）P必在BD上。
（这步证明比较麻烦）
2）设角PAD=α=角PCD，AC=2a
PA+PB+PC=2a/cosα+a-atanα
=a+a(2/cosα-tanα）
设t=2/cosα-tanα
t*cosα=2-sinα
t^2(1-sin^2α）=（2-sinα）^2
(t^2+1)sin^2α-4sinα+4-t^2=0
Δ=16-4(4-t^2)(t^2+1)≥0
t^2≥3
t≥根号3
PA+PB+PC的最小值为a+a*根号3
所以a=根号2
AC=2*根号2
AB=2,即正方形的边长为2.
收起
将三角形ABP绕点B逆时针旋转60度，A到A撇，P到P撇。PA+PB+PC就转换成了A撇+PP撇+PC，根据两点之间线段最短，A撇，P撇，P，C共线时有最小值。即线段A撇C=根号2+根号6。
过A撇作A撇H垂直直线BC于点H。则有角HBA撇=30度。
设A撇H=x，则HB=根号3x，A撇B等于2x（正方形边长），
在直角三角形A撇HC中应用勾股定理。
x^2+(2...
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将三角形ABP绕点B逆时针旋转60度，A到A撇，P到P撇。PA+PB+PC就转换成了A撇+PP撇+PC，根据两点之间线段最短，A撇，P撇，P，C共线时有最小值。即线段A撇C=根号2+根号6。
过A撇作A撇H垂直直线BC于点H。则有角HBA撇=30度。
设A撇H=x，则HB=根号3x，A撇B等于2x（正方形边长），
在直角三角形A撇HC中应用勾股定理。
x^2+(2x+根号3x)^2=（根号2+根号6）^2.
易得 x=1. 所以正方形边长为2.
收起