已知在半径为2的球面上有ABCD四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为?根据什么定义有d

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 19:06:57
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已知在半径为2的球面上有ABCD四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为?根据什么定义有d
已知在半径为2的球面上有ABCD四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为?
根据什么定义有d

已知在半径为2的球面上有ABCD四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为?根据什么定义有d
定理：如果一个四面体的两条相对棱的长分别是a,b,它们的距离为d,所成的角为α,那么它的体积为V=abd sinα /6.
根据这个定理,我们首先得到结论：AB和CD必须垂直,方能得到最大的体积.
其次,由于AB=CD=R（球的半径）,所以如果连结球心O和四个顶点,则容易知道△OAB和△OCD都是正三角形.
设AB的中点为E,CD的中点为F,则OE⊥AB,OF⊥CD.
设AB与CD间的距离为d,则根据定义,应有d≤EF≤OE+OF.
因此,OEF共线时,四面体的体积可以达到最大值,且容易知道这样的四面体存在.
因为OE=OF=√3,故最大值为V=8√3/6.
d≤EF的证明：
定理 两条异面直线m和n,d是其距离,若E是m上一点,F是n上一点,则d≤EF.
证明 不妨设m和n的公垂线段的两端点为A和B,A∈m,B∈n.
过B做m'//m,并在m'上取点E',使得EE'//AB.容易知道,此时ABEE是平行四边形（对边互相平行）,所以AB=EE'.
因为AB⊥m,所以AB⊥m'；又因为AB⊥n,所以AB⊥平面FBE'.从而EE'⊥平面FBE'.
因而,EF=√(EE'^2+E'F^2)≥EE'=d.
简单说就是“公垂线段最短”.

都忘了球的体积公式了。这个好像不是很难的吧

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