初中数学动点问题如图所示，菱形ABCD边长6厘米，角B=60°。从初始开始，点P,Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度A到C到B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A到B到C到D的方向运动，当点Q运
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 13:43:56
初中数学动点问题如图所示，菱形ABCD边长6厘米，角B=60°。从初始开始，点P,Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度A到C到B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A到B到C到D的方向运动，当点Q运
初中数学动点问题
如图所示，菱形ABCD边长6厘米，角B=60°。从初始开始，点P,Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度A到C到B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A到B到C到D的方向运动，当点Q运动到D点时，P,Q同时停止运动，设P,Q运动的时间为x秒，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定，点和线段是面积为0的三角形）解答下列问题：
（1）点P,Q从出发到相遇所用的时间是 秒
（2）点P,Q从开始运动到停止的过程，当△APQ是等边三角形时x的值是 秒
（3）求y与x之间的函数关系式
初中数学动点问题如图所示，菱形ABCD边长6厘米，角B=60°。从初始开始，点P,Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度A到C到B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A到B到C到D的方向运动，当点Q运
由P,Q点的运动速度及轨迹,可以展开以下分析：
连接BD交AC于O点,AC=6cm,当P运动到O点之前,显然,PA=1cm/s *x(s)=x(cm)(以下计算皆省略x的单位s,y的单位为平方厘米,线段的长为厘米）PB=2*x=2x,已知在△PAQ中,∠PAQ=60度,所以在△PAQ中运用余弦定理可求得PQ=√3x,再根据正弦定理可得出∠APQ=90度,当P运动到与O重合时,x=3,2x=6,也就是说,此时Q点恰好落在B处,所以,当x∈[0,3]时,y的面积为三角形APQ,有y=(1/2)*AP*PQ=(√3/2)x^
当P过O点继续向C点前进时,Q也迈过B点向C点前进,此时AP依然等于x,CP=CA-AP=6-x,而此时CQ=BC-QB=BC-(2x-AB)=12-2x,在△CPQ中,可用正余弦定理得出∠CPQ=90度,PQ=√3*(6-x)也就是说,而当x=6时,CP=CQ=0,也就是说,此时P,Q两点相遇,由此第1问得解
在P属于OC上即x∈[3,6]时,因为∠APQ是直角,故有y=S△PAQ=(1/2)*AP*PQ
=-√3x^/2+3√3x
P,Q继续前进,P向B运动,Q向D运动,由于CD=BC,且P,Q同时从C出发,不难得出,当Q达到D点时,P恰好走到BC中点,此时x=AC+CP=6+3=9,也就是说,当x∈[6,9]时,函数y的解析式又会发生变化,有CP=x-6,QC=2(x-6)
设PQ交AC于E点,此时的y相当于△APE的面积,S△CPQ=(1/2)*CQ*CP*sin∠QCP
=√3(x-6)^/2,而在△CEQ与△CEP中,公共边为CE,∠ECQ=∠ECP=60度,根据三角形面积公式有：S△CEQ/S△CEP=CQ/CP=2,而两个三角形相加恰好是△PCQ的面积,于是可以得出S△CEP=√3(x-6)^/6
而P到AC的距离可以利用三角关系求出是√3(x-6)/2,于是
S△APC=（1/2）*6*√3(x-6)/2=3√3(x-6)/2
所以有y=S△APE=S△APC-S△PCE=-√3x^/6 + 7√3x/2 - 15√3
所以第三问到这里迎刃而解
最后求第二问：
连接AQ,当△APQ是等边三角形时,有AQ=AP,∠QAP=60度,∠QAD=∠DAC-∠QAC,∠CAP=∠QAP-∠QAC,于是在△APC与△DAQ中,AD=AC,AQ=AP,∠QAD=∠CAP,所以两个三角形全等,于是有DQ=PC,而DQ=6*3-2x,PC=x-6,可以得出x=8
综上：
1.相遇时间为6秒
2.8秒
3.y=(√3/2)x^,x∈[0,3),
y=-√3x^/2+3√3x,x∈[3,6),
y=-√3x^/6 + 7√3x/2 - 15√3,x∈[6,9]