f(x)奇函数,f(2+x)+f(2-x)=9并且f(1)=0,求f(2010)+f(2011)+f(2012)求详解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 09:16:48
f(x)奇函数,f(2+x)+f(2-x)=9并且f(1)=0,求f(2010)+f(2011)+f(2012)求详解
f(x)奇函数,f(2+x)+f(2-x)=9并且f(1)=0,求f(2010)+f(2011)+f(2012)
求详解
f(x)奇函数,f(2+x)+f(2-x)=9并且f(1)=0,求f(2010)+f(2011)+f(2012)求详解
f(x)是奇函数,所以f(0)=0.
f(1)=0,则f(-1)=-f(1)=0.
f(2+x)+f(2-x)=9,令x=0可得：f(2)+f(2)=9,f(2)=9/2.
f(x)是奇函数
所以f(2-x)=-f(x-2).
因为 f(x+2)+f(2-x)=9,
则f(x+2) -f(x-2)=9,
所以f(x+4) -f(x)=9,即f(x+4) = f(x)+9,
∴f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6),f(7),f(8),……每隔三项构成公差为9的等差数列.
f(2010)= f(2)+502*9=9/2+4518.
f(2011)= f(-1)+ 503*9=4527.
f(2012)= = f(0)+503*9=4527.
f(2010)+f(2011)+f(2012)=13576.5
因为 f(2+x)+f(2-x)=0，且f(x)是奇函数
所以 f(2+x)=-f(2-x)=f(x-2)，
即 f(x)=f(x-4)。
所以 f(x)是周期为4的周期函数。且f(0)=0。
又在f(2+x)+f(2-x)=0 中，令x=0，则：
f(2)+f(2)=0 ， f(2)=0。
所以 f(2010)=f(4*502+2)=f(2)=0；...
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因为 f(2+x)+f(2-x)=0，且f(x)是奇函数
所以 f(2+x)=-f(2-x)=f(x-2)，
即 f(x)=f(x-4)。
所以 f(x)是周期为4的周期函数。且f(0)=0。
又在f(2+x)+f(2-x)=0 中，令x=0，则：
f(2)+f(2)=0 ， f(2)=0。
所以 f(2010)=f(4*502+2)=f(2)=0；
f(2011)=f(4*503-1)=f(-1)=-f(1)=-9；
f(2012)=f(4*503)=f(0)=0。
故 f(2010)+f(2011)+f(2012)=-9。
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∵f(2+x)+f(2-x)=9，利用此关系有：
(1) f(2+0)+f(2-0)=9,有f(2)=4.5
(2)f（x）=f[2+(x-2)]=9-f[2-(x-2)]=9-f(4-x)
而f(x)奇函数，因此f[4-x]=f[-(x-4)]=-f[x-4]=-f[2+(x-6)]=-{9-f[2-(x-4)]}=-9+f(6-x))
...
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∵f(2+x)+f(2-x)=9，利用此关系有：
(1) f(2+0)+f(2-0)=9,有f(2)=4.5
(2)f（x）=f[2+(x-2)]=9-f[2-(x-2)]=9-f(4-x)
而f(x)奇函数，因此f[4-x]=f[-(x-4)]=-f[x-4]=-f[2+(x-6)]=-{9-f[2-(x-4)]}=-9+f(6-x))
∴f(x)=9-{-9+f(6-x)}=9×2-f(6-x)
..........
以此类推，可得f(x)=9×n-f[2(n+1)-x]
∴f(2010)=9×1004-f[2×1005-2010]=9036-f(o)=9036(奇函数f(0)=0)
∴f(2011)=9×1004-f[2×1005-2011]=9036-f(-1)=9036+f(1)=9036+0=9036.
f(2012)=9x1004-f[2x1005-2012]=9036-f(-2)=9036+f(2)=9036+4.5=9040.5
f(2010)+f(2011)+f(2012=9036+9036+9040.5=27108.5
收起