a,b∈R+,a+b=1,求(a+1/a^2)(b+b/b^2)的最小值还有一题,a+b+c=1,a,b,c∈R+,求(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c) 不好意思，第一题是对称的式子，是(a+1/a^2)(b+1/b^2)

a,b∈R+,a+b=1,求(a+1/a^2)(b+b/b^2)的最小值还有一题,a+b+c=1,a,b,c∈R+,求(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c) 不好意思，第一题是对称的式子，是(a+1/a^2)(b+1/b^2)
a,b∈R+,a+b=1,求(a+1/a^2)(b+b/b^2)的最小值
还有一题,a+b+c=1,a,b,c∈R+,求(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)
不好意思，第一题是对称的式子，是(a+1/a^2)(b+1/b^2)

a,b∈R+,a+b=1,求(a+1/a^2)(b+b/b^2)的最小值还有一题,a+b+c=1,a,b,c∈R+,求(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c) 不好意思，第一题是对称的式子，是(a+1/a^2)(b+1/b^2)
第二题：（a+1/a)+(b+1/b)+(c+1/c)
=(a+b+c)+1/a+1/b+1/c
=1+(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=4+(b/a+a/b)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)
然后根据基本不等式,有
b/a+a/b>=2
a/c+c/a>=2
b/c+c/b>=2
三式相加,就会得到原式>=4+6=10
即最小值是10,在 a=b=c=1/3时取得.
不过第一题
b+b/b^2
你确定没发错?先把第一题写好再解答第一题

a=b的时候达到最小，为（0.5+4）*（0.5+4）=20.25
a+b+c=1,a,b,c∈R+，求(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)
一样的
a=b=c，值为37.037

a+b=1
(a+b)^2=1=a^2+2ab+b^2
1/a+1/b
=(a+b)/ab
=1/ab
=(a^2+2ab+b^2)/ab
=(a^2+b^2)/ab+2
≥2ab/ab+2=4
∵正实数a、b、c满足a+b+c=1,
由均值不等式，a+1/a=a+1/(9a)*9
=10*[(1/(3^18*a^8)...

全部展开

a+b=1
(a+b)^2=1=a^2+2ab+b^2
1/a+1/b
=(a+b)/ab
=1/ab
=(a^2+2ab+b^2)/ab
=(a^2+b^2)/ab+2
≥2ab/ab+2=4
∵正实数a、b、c满足a+b+c=1,
由均值不等式，a+1/a=a+1/(9a)*9
=10*[(1/(3^18*a^8)]^0.1
=10*3^(-1.8)*a^(-0.8),余者类推，
∴(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)
=10^3*3^(-5.4)*(abc)^(-0.8)
=10^3*3^(-5.4)*3^(2.4)=1000/27,
当a=b=c=1/3时取等号，
∴(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)的最小值是1000/27.
而x+1/x在（0，1/27]是减函数，
求采纳，O(∩_∩)O谢谢
已知a,b∈R+,a+b=1,求证(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥25/2
证明：左>=2(a+1/a)(b+1/b)=2(ab+1/ab+a/b+b/a)
考虑f(x)=x+1/x,因为0f(ab)>=f(1/4)=17/4
而a/b+b/a>=2
所以左>=2(17/4+2)=25/2
当且仅当a=b=1/2时等号成立。

收起

1

用基本不等式，很麻烦

把1/a展开成9个1/(9a)

把1/b展开成9个1/(9b)

把1/c展开成9个1/(9c)

然后根据10个数的算术平均数，大于其几何平均数

(a1+a2+........+a10)/10>=(a1a2.....a10)^(1/10)

来做

具体过程如下：

(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)=

[a+1/(9a)+.........+1/(9a)]* [b+1/(9b)+.........+1/(9b)]* [c+1/(9c)+.........+1/(9c)] 

>={10[a*1/(9a)^9]^(1/10)} * {10[b*1/(9b)^9]^(1/10)} * {10[c*1/(9c)^9]^(1/10)}

=10^3/[(abc)^(8/10)]*[9^(27/10)]

又因为abc<=[(a+b+c)/3]^3=1/27

所以(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)>=10^3/[(abc)^(8/10)]*[9^(27/10)]>=10^3/[(1/27)^(8/10)]*[9^(27/10)]

=10^3/3^3

=1000/27

第一个>=，等号在a=1/(9a), b=1/(9b), c=1/(9c),  即a=b=c=1/3时候成立，

第二个>=，等号也在a=b=c=1/3时候成立，

两个>=都是在a=b=c=1/3时候取等号。所以最下值为1000/27

2

第二个也可以用这种方法做，但要把1/a^2分成8个1/(8a^2),  1/b^2分成8个1/(8b^2)

(a+1/a^2)(b+1/b^2)

=[a+1/(8a^2)+........(1/8a^2)]* [b+1/(8b^2)+........(1/8b^2)]

>= 9{[a*1/(8a^2)^8]^(1/9)}* 9{[b*1/(8b^2)^8]^(1/9)}

=9^2/[8^(16/9)*(ab)^(18/9)]

因为ab<=[(a+b)/2]^2=1/4

所以(a+1/a^2)(b+1/b^2)>=9^2/[8^(16/9)*(ab)^(18/9)]>=9^2/[8^(16/9)*(1/4)^(18/9)]

=9^2/2^2

=81/4

第一个>=，不等号在a=1/(8a^2)，b=1/(8b^2)，即a=1/2，b=1/2时成立，

第二个>=，等号也也在a=b=1/2时候成立，

所以最小值为81/4

当然最简单的方法是琴生不等式，会非常快

1

设p=(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)

lnp=ln(a+1/a)+ln(b+1/b)+ln(c+1/c)

设f(x)=ln(x+1/x)，x∈(0,1)

求他的二阶导数得到

f''(x)=(-x^4+4x^2+1)/x^2(x^2+1)^2>0

所以f(x)是个下凸函数，

根据琴生不等式

所以f(a)+f(b)+f(c)>=3f[(a+b+c)/3)]=3f(1/3)

即ln(a+1/a)+ln(b+1/b)+ln(c+1/c)>=3ln(3+1/3)=ln(10/3)^3

所以p=e^[ln(a+1/a)+ln(b+1/b)+ln(c+1/c)]>=(10/3)^3

所以(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)的最小值为(10/3)^3

2

另一个

设p=(a+1/a^2)(b+1/b^2)

lnp=ln(a+1/a^2)+ln(b+1/b^2)

设f(x)=ln(x+1/x^2)，x∈(0,1)

求他的二阶导数得到

f''(x)=(-x^6+10x^3+2)/x^2(x^3+1)^2>0

所以f(x)是个下凸函数，

根据琴生不等式

所以f(a)+f(b)>=2f[(a+b)/2)]=2f(1/2)

即ln(a+1/a^2)+ln(b+1/b^2)>=2ln(4+1/2)=ln(9/2)^2

所以p=e^[ln(a+1/a^2)+ln(b+1/b^2)]>=(9/2)^2

所以(a+1/a^2)(b+1/b^2)的最小值为(9/2)^2

由于使用手机无法给出过程，但是可以分享一下心得。这一类题目答案肯定是在所有数相等的时候，既a=b=1/2以及a=b=c=1/3的时候，填空题就这么做，大题的话用重要不等式去套就行了。不要想的太复杂。第一题为36第二题为64

你这里用x,y代替a,b更好一些，可用拉格朗日条件极值来解决。
相当于求z=(x+1/x^2)(y+1/y^2),在条件x+y=1下的极值。
引进拉格朗日函数：
L(x,y,t)=(x+1/x^2)(y+1/y^2)+t(x+y-1)
求偏导，得到方程组
(1-2/x^3)(y+1/y^2)+t=0
(x+1/x^2)(1-2/y^3)+t=0

全部展开

你这里用x,y代替a,b更好一些，可用拉格朗日条件极值来解决。
相当于求z=(x+1/x^2)(y+1/y^2),在条件x+y=1下的极值。
引进拉格朗日函数：
L(x,y,t)=(x+1/x^2)(y+1/y^2)+t(x+y-1)
求偏导，得到方程组
(1-2/x^3)(y+1/y^2)+t=0
(x+1/x^2)(1-2/y^3)+t=0
x+y-1=0
由于对称性，可知当a=b=1/2时,取得最小值20.25。
还有一题，与此题类似，仍然是用拉格朗日条件极值来解决。
由于对称性，可知当a=b=c=1/3时,取得最小值28^3/3^3。

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