勾股定理的几种证法
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 10:46:17
勾股定理的几种证法
勾股定理的几种证法
勾股定理的几种证法
证法1
作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP‖BC,交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ,垂足为N.
∵ ∠BCA = 90°,QP‖BC,
∴ ∠MPC = 90°,
∵ BM⊥PQ,
∴ ∠BMP = 90°,
∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°,
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,
∴ ∠QBM = ∠ABC,
又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a²+b²=c²
证法2
作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c.再作一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,
∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
∴FI=a,
∴G,I,J在同一直线上,
∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
∠CJB = ∠CFD = 90°,
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,
同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
∵∠ABC= 90°,
∴G,B,I,J在同一直线上,
a²+b²=c²
证法3
作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结
BF、CD.过C作CL⊥DE,
交AB于点M,交DE于点L.
∵ AF = AC,AB = AD,
∠FAB = ∠GAD,
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
∵ ΔFAB的面积等于,
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半,
∴ 矩形ADLM的面积 =.
同理可证,矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ 即a²+b²=c²
只要证明了斜边的平方等于两直角变的平方和的方法都可以
直角三角形RTABC,C为直角，斜边为c,角A的对边为a,角B的对边为b 。
证法：
1 正余弦定理
a=cCOSA b=cSINA
因 COSA^2+SINA^2=1
a^2+b^2=c^2(COSA^2+SINA^2)=c^2 成立
2 作C点作c边的垂线，交AB于D
由相似三角形得
a^2=c*BD b^2=c*AD ...
全部展开
直角三角形RTABC,C为直角，斜边为c,角A的对边为a,角B的对边为b 。
证法：
1 正余弦定理
a=cCOSA b=cSINA
因 COSA^2+SINA^2=1
a^2+b^2=c^2(COSA^2+SINA^2)=c^2 成立
2 作C点作c边的垂线，交AB于D
由相似三角形得
a^2=c*BD b^2=c*AD 因为AD+BD=c
a^2+b^2=c(BD+AD)=c^2 成立
3 余弦定理
c^2=a^2+b^2-2abCOSC=a^2+b^2 成立
4 取AB上的中点D，连接CD，CD=AD=DB=1/2c 由余弦定理
a^2=(1/2c)^2+(1/2c)^2-2*1/2c*1/2c*COS2A=1/2c^2-1/2c^2*COS2A
b^2=(1/2c)^2+(1/2c)^2-2*1/2c*1/2c*COS2B=1/2c^2-1/2c^2*COS2B
A+B=90 2A+2B=180 COS2A=-COS2B
a^2+b^2=1/2c^2-1/2c^2*COS2A+1/2c^2-1/2c^2*COS2B=c^2 成立
介绍个网站勾股定理的发明与发现：http://www.mmit.stc.sh.cn/telecenter/CnHisScience/ggdl.htm
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