3的48次方-1可以被哪些30以内的两位偶数整除?

3的48次方-1可以被哪些30以内的两位偶数整除?
3的48次方-1可以被哪些30以内的两位偶数整除?

3的48次方-1可以被哪些30以内的两位偶数整除?
1、首先,原数不能被3整除,可把3的倍数排除；
2、原数＝27^16-1=(27^8+1)(27^4+1)(27^2+1)(27+1)(27-1)
前2项为偶数,后3项为730*28*26,因此可知能被10、14、16、20、26、28整除；
3、剩下的是22,能否整除?可用求余数的一般方法(降次)：
原数＝27^16-1=(22+5)^16-1,除以22后,余数为5^16-1
5^16-1=25^8-1=(22+3)^8-1,除以22后,余数为3^8-1
3^8-1=3^6*9-1=27^2*9-1=(22+5)^2*9-1,除以22后,余数为25*9－1＝224
224不能被22整除,所以原数不能被22整除
所以答案是：10、14、16、20、26、28

根据规律：从一次方开始，末尾数：3、9、7、1、3、9、7、1、3、9、、、48除4是整除，则末尾为一，减一后为零，倒数第二位为二，则可以被10或20整除。

3的48次方-1=79766443076872509863360可以被28 26 20 16 14 10整除我用计算器算得比较笨

3的48次方-1=(3的2次方4+1)*(3的12次方+1)*(3的6次方+1)*(3的3次方+1)*(3的3次方-1)
因为前面的数不是偶数，但最后两个项的值是28和26，所以3的48次方-1可以被28和26整除

主要思路：
1、检查3^48-1含有多少个因子2，检查到16为止即可
2、分别检查3^48-1的小素因子，检查5，7，11，13即可
3^48-1=81^12-1=(80+1)^12-1≡1^12-1=0(mod 80)，可被5、16整除
3^48-1=27^16-1=(26+1)^16-1≡1^16-1=0(mod 26)，有因子13
3^48-1=27^...

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主要思路：
1、检查3^48-1含有多少个因子2，检查到16为止即可
2、分别检查3^48-1的小素因子，检查5，7，11，13即可
3^48-1=81^12-1=(80+1)^12-1≡1^12-1=0(mod 80)，可被5、16整除
3^48-1=27^16-1=(26+1)^16-1≡1^16-1=0(mod 26)，有因子13
3^48-1=27^16-1=(28-1)^16-1≡(-1)^16-1=0(mod 28)，有因子7
3^48-1=243^9·3^3-1=(2·11·11+1)^9·27-1≡(1)^9·5-1≡4(mod 11)，没有因子11
所以10~30以内可整除3^48-1的偶数为10，14，16，20，26，28

收起

本题的实质就是求出3^48-1的所有的最小质数因数。然后这些质数相乘小于30的就出来了。
(3^24+1)(3^24-1)=(3^24+1)(3^12+1)(3^12-1)=(3^24+1)(3^12+1)(3^6+1)(3^6-1)=(3^24+1)(3^12+1)(3^6+1)(3^3+1)(3^3-1)。
其中3^24+1=(3^8+1)(3^16-3^8+1)=(3^2+1...

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本题的实质就是求出3^48-1的所有的最小质数因数。然后这些质数相乘小于30的就出来了。
(3^24+1)(3^24-1)=(3^24+1)(3^12+1)(3^12-1)=(3^24+1)(3^12+1)(3^6+1)(3^6-1)=(3^24+1)(3^12+1)(3^6+1)(3^3+1)(3^3-1)。
其中3^24+1=(3^8+1)(3^16-3^8+1)=(3^2+1)(3^4-3^2+1)(3^16-3^8+1)=10*73*(3^16-3^8+1)=2*5*73*(3^16-3^8+1)
3^12+1=(3^4+1)(3^8-3^4+1)=81*(3^8-3^4+1)=3*3*3*3*(3^8-3^4+1)
3^6+1=(3^2+1)(3^4-3^2+1)=2*5*73
3^3+1=28=(3+1)*(3^2-3+1)=2*2*7
3^3-1=(3-1)*(3^2+3+1)=2*13
所以，3^48-1=2*5*73*(3^16-3^8+1)*3*3*3*3*(3^8-3^4+1)*2*5*73*2*2*7*2*2*7*2*13
=2*5*3*3*3*3*2*5*73*2*2*7*2*2*7*2*13*(3^16-3^8+1)*(3^8-3^4+1)
所以，满足条件的偶数有：2*2*2*2=16，2*2*2*3=24，2*3*2=12，2*3*3=18，2*3*5=30，2*5=10，2*5*2=20，2*7=14，2*7*2=28，2*13=26。
所以，有10，12，14，16，18，20，24，26，28，30.

收起

3^48-1=（3^4）^12-1=(80+1)^12-1=80P
因此3的48次方-1可以被10,16，20整除
3^48-1=（3^3）^16-1=(26+1)^16-1=26Q
因此3的48次方-1可以被26整除
3^48-1=（3^6）^8-1=(728+1)^8-1=728R
因此3的48次方-1可以被14,28整除
整除3^48-1的偶数为10，14，16，20，26，28

10和20