在△ABC中,AD是高,BC的垂直平分线交AC于E,BE交AD于F,求证:点E在AF的垂直平分线上
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/11 03:50:21
在△ABC中,AD是高,BC的垂直平分线交AC于E,BE交AD于F,求证:点E在AF的垂直平分线上
在△ABC中,AD是高,BC的垂直平分线交AC于E,BE交AD于F,求证:点E在AF的垂直平分线上
在△ABC中,AD是高,BC的垂直平分线交AC于E,BE交AD于F,求证:点E在AF的垂直平分线上
∵BC的垂直平分线交AC于E
∴EB=EC.∴∠B=∠1
又∵AD是高.∴∠3=90º-∠B,∠2=90º-∠1
∴∠3=∠2.∵∠4=∠2
∴∠3=∠4.∴EF=EA
∴点E在AF的垂直平分线上
过E作EP⊥AD于P,过F作FM⊥EQ于M
∵EQ为BC的中垂线
∴∠1=∠2(三线合一定理)-----------------------①
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∵AD⊥BC,EQ⊥BC
∴AD∥EQ
那么,∠1=∠6(两直线平行,同位角相等)---------②
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过E作EP⊥AD于P,过F作FM⊥EQ于M
∵EQ为BC的中垂线
∴∠1=∠2(三线合一定理)-----------------------①
--------------------------------
∵AD⊥BC,EQ⊥BC
∴AD∥EQ
那么,∠1=∠6(两直线平行,同位角相等)---------②
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∵EP⊥AD,CD⊥AD
∴∠2=∠3(两直线平行,内错角相等)-------------③
综合①②③得:∠6=∠3
∴△EFA为等腰△
∴根据三线合一定理:EP是AF的中垂线
亦即:点E在AF的中垂线(亦即线段垂直平分线)上
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满意回答里的∠1,∠2可能大家看不懂,我现在用字母表示一下。
∵EB=EC(已知)
所以∠EBC=∠ECB(等边对等角)
又∵AD是高(已知)
所以∠BFD=90°-∠EBC
∠DAC=90°-∠ECB(三角形内角和为180°)
所以∠BFD=∠DAC(等量代换)
又∵∠BFD=∠AFE(对顶角相等)
所以∠DAC=∠A...
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满意回答里的∠1,∠2可能大家看不懂,我现在用字母表示一下。
∵EB=EC(已知)
所以∠EBC=∠ECB(等边对等角)
又∵AD是高(已知)
所以∠BFD=90°-∠EBC
∠DAC=90°-∠ECB(三角形内角和为180°)
所以∠BFD=∠DAC(等量代换)
又∵∠BFD=∠AFE(对顶角相等)
所以∠DAC=∠AFE(等量代换)
所以AE=EF(等角对等边)
所以点E在AF的垂直平分线上。(垂直平分线的判定)
祝大家天天向上,好好学习。
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