设方程x^2+ax+b-2=0在区间(-∞,-2]∪[2,+∞)上有实根,则a^2+b^2的取值范围为?8,+∞),
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/12 19:09:55
设方程x^2+ax+b-2=0在区间(-∞,-2]∪[2,+∞)上有实根,则a^2+b^2的取值范围为?8,+∞),
设方程x^2+ax+b-2=0在区间(-∞,-2]∪[2,+∞)上有实根,则a^2+b^2的取值范围为?
8,+∞),
设方程x^2+ax+b-2=0在区间(-∞,-2]∪[2,+∞)上有实根,则a^2+b^2的取值范围为?8,+∞),
本题借助数形结合比较容易解决：
考察二次函数f(x)=x^2+ax+b-2,
及其图像（开口朝上,既然有是根,与x轴必有交点)
由图像可看出：
要使方程x^2+ax+b-2=0在区间(-∞,-2]∪[2,+∞)上有实根,则
f(2)=2a+b+2
b=2-（x^2+ax）代入y=a^2+b^2
y=a^2+(2-x^2-ax)^2;
对y求导，令y'=0解得a=(x(2-x^2))/(1+x^2)
将a=(x(2-x^2))/(1+x^2)代入y=a^2+(2-x^2-ax)^2;得
y=(x^2-2)^2/(1+x^2)
在(-∞,-2]∪[2,+∞)中y最小时，x=2代入即y=0.8
你自己验算一下吧
设 y=a^2+b^2---------------------(1)
b=2-（x^2+ax）代入(1)
y=a^2+(2-x^2-ax)^2;
对y求导，令dy/dx=0解得a=(x(2-x^2))/(1+x^2)
对y求导二次, d(dy/dx)/dy=[3x/{2^(1/2)} + a*2^(1/2)]^2+(3/2)X^2+4>0 ==>
y...
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设 y=a^2+b^2---------------------(1)
b=2-（x^2+ax）代入(1)
y=a^2+(2-x^2-ax)^2;
对y求导，令dy/dx=0解得a=(x(2-x^2))/(1+x^2)
对y求导二次, d(dy/dx)/dy=[3x/{2^(1/2)} + a*2^(1/2)]^2+(3/2)X^2+4>0 ==>
y最小时, a=(x(2-x^2))/(1+x^2)
将a=(x(2-x^2))/(1+x^2)代入y=a^2+(2-x^2-ax)^2;得
y=(x^2-2)^2/(1+x^2)
在y, x^2=(-x)^2 前没有负号,==> |x| 最小时,y最小,
在(-∞,-2]∪[2,+∞)中|x|=2最小, 代入
y=(x^2-2)^2/(1+x^2)=(2^2-2)^2/(1+2^2)
=2^2/(1+4)=0.8
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