如何求∫cosx/(sinx+cosx)dx,请知道的朋友帮帮忙,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 02:20:09
如何求∫cosx/(sinx+cosx)dx,请知道的朋友帮帮忙,
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解法一：设tan(x/2)=t
则x=2arctant,sinx=2t/(1+t²),cosx=(1-t²)/(1+t²),dx=2dt/(1+t²)
故∫cosx/(sinx+cosx)dx
=∫[(1-t²)/(1+t²)]*[2dt/(1+t²)]/[2t/(1+t²)+(1-t²)/(1+t²)]
=∫2(1-t²)dt/[(1+t²)(1+2t-t²)]
=∫[(1/2)/(t-1-√2)+(1/2)/(t-1+√2)+(1-t)/(1+t²)]dt
=(1/2)[ln│(t-1-√2)(t-1+√2)│]+arctant-(1/2)ln(1+t²)+C (C是积分常数)
=(1/2)ln│(t²-2t-1)/(1+t²)│+arctant+C
=(1/2)ln│(1-t²)/(1+t²)+(2t)/(1+t²)│+arctant+C
=(1/2)ln│cosx+sinx│+x/2+C
=(ln│cosx+sinx│+x)/2+C；
解法二：∫cosx/(sinx+cosx)dx
=(1/2)∫2cosx/(sinx+cosx)dx
=(1/2)∫(sinx+cosx+cosx-sinx)/(sinx+cosx)dx
=(1/2)∫[1+(cosx-sinx)/(sinx+cosx)]dx
=[∫dx+∫d(sinx+cosx)/(sinx+cosx)]/2
=(x+ln│sinx+cosx│)/2+C (C是积分常数).
被积函数=1/2[（sinx+cosx)+(cosx-sinx)] 将这两个括号分开积分，1/2先拿出来不管它。第一个积出来为x,第二个括号积分时，将括号里的内容写入积分号里，即为d(sinx+cosx),积分后为ln|sinx+cosx|。所以最后结果为1/2[x+ln|sinx+cosx] +C
∫cosx/(sinx+cosx)dx
=∫(cotx+1)dx ok？
=∫cotxdx+∫1dx ok？
=lnsinx+x+c c为常数