设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x)

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/19 06:46:39

设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x)设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x)设f(x)连续,且满足f(x)=e^

设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x)
设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x)

设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x)
由于f(x)连续,则∫(0,x)tf(x-t)dt可导,
由于f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,因此f(x)可导
换元,令x-t=u,则dt=-du,u：x→0
f(x)=e^x-∫[x→0] (x-u)f(u)du
=e^x+∫[0→x] (x-u)f(u)du
=e^x+x∫[0→x] f(u)du-∫[0→x] uf(u)du
两边求导得
f '(x)=e^x+∫[0→x] f(u)du+xf(x)-xf(x)
=e^x+∫[0→x] f(u)du (1)
由∫[0→x] f(u)du可导得：f '(x)可导
(1)两边再求导得：f ''(x)=e^x+f(x) 二阶常系数非齐次线性微分方程
将x=0代入原式得：f(0)=1
将x=0代入(1)得：f '(0)=1
这样问题转化为求解微分方程初值问题
f ''(x)-f(x)=e^x
f(0)=1
f '(0)=1
特征方程为：r²-1=0,解得r=±1
因此齐次方程通解为：C1e^x+C2e^(-x)
设方程特解为：y*=axe^x
代入微分方程解得：a=1/2
因此微分方程通解为：f(x)=C1e^x+C2e^(-x)+(1/2)xe^x
将初始条件f(0)=1,f '(0)=1代入得：f(x)=(3/4)e^x+(1/4)e^(-x)+(1/2)xe^x

设函数f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0.x)uf(u)du-x∫(0.x)f(u)du,求f(x) 设f(X)连续且满足 f(x)=e^x+sinx- ∫ x 0 (x-t)f(t)dt,并求该函数f(x)RT 设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫x上0下（t-x）f（t）dt 求f（x）设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x) 设f(x)满足f(x)+f'(x)+f(x)=e^x+2,且f(0)=1,f'(0)=0,求f(x) 设f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,且满足f(1)=f(0)及|f''(x)| 设函数f(x)具有连续的导数且满足方程,∫(0-x)(x-t+1)f'(t)dt=x^2+e^x-f(x),求f(x) 设f(x)具有连续导数,且满足f(x)=x+∫(上x下0)tf'(x-t)dt求lim(x->-∞)f(x) 一道高数题,设函数f(x)在[0,+∞)上连续,且f(x)=x(e^-x)+(e^x)∫(0,1) f(x)dx,则f(x)=?设函数f(x)在[0,+∞)上连续,且f(x)=x(e^-x)+(e^x) ∫(0,1) f(x)dx ,则f(x)= 设当x>0时,函数f(x)连续且满足f(x)=x+∫(1,x)1/xf(t)dt,求f(x) 设函数f(x)在(-∞,+∞)可导,且满足f(0)=1,f'(x)=f(x),证明f(x)=e^x 设函数F(X)具有二阶连续导数,且满足F(X)=[微分（上限X下限0）F(1-t)dt]+1,求F(X) 设f(x)连续且满足f(x)=-cosx+∫f（t）dt,求f（x）.注：积分上限为x下限为0 设f(x)为可导函数,且满足f(x)=∫（上限X下线1）f(t)/tdt+(x-1)e^x求f(x) 设函数f(x)满足条件f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在x=0处连续,证明f(x)在所有的点x0处连续设函数f(x)在x=0点连续且满足limx->0(sinx/x^2+f(x)/x)=2求f'(0) 设F(X)在[0,1连续,且满足f(X)=4X^3-3X^2∫f(x)dx正在考试,求速度已知函数f(x)在(-∞,+∞)上连续且满足∫(0,x)f(x-u)e^udu=sinx,x∈(-∞,+∞),求f(x)