求曲线x^2+y^2=3ax与x^2+y^2=根号3 ay所围成的面积 高数题 定积分的应用 用极坐标方程解.图形是什么样的

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 15:18:18
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求曲线x^2+y^2=3ax与x^2+y^2=根号3 ay所围成的面积 高数题 定积分的应用 用极坐标方程解.图形是什么样的
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令x = rcosθ、y = rsinθ
x² + y² = 3ax
→ r² = 3a·rcosθ
→ r = 3acosθ
x² + y² = √3ay
→ r² = √3a·rsinθ
→ r = √3asinθ
所以在极坐标下求由r = 3acosθ和r = √3asinθ的公共面积.
在0 ≤ θ ≤ 2π里解{r = 3acosθ、r = √3asinθ
3acosθ = √3asinθ
√3 = tanθ
θ = π/3 or θ = 4π/3、当θ = 4π/3时r = √3·a·(- √3/2) = - 3a/2 < 0、所以舍去
0→π/3的面积属于r = √3asinθ的部分

π/3→π/2的面积属于r = 3acosθ的部分
所以根据∫(α→β) (1/2)r²(θ) dθ
公共部分的面积
= ∫(0→π/3) (1/2)(√3asinθ)² dθ + ∫(π/3→π/2) (1/2)(3acosθ)² dθ
= (- 1/16)(3√3 - 4π)a² + (3/16)(2π - 3√3)a²
= (a²/8)(5π - 6√3)


图形如下.
红色部分就是0→π/3,r = √3asinθ围成的面积
蓝色部分就是π/3→π/2,r = 3acosθ围成的面积、图中我代入了a = 2以便作图
公共面积就是这两个部分加起来的.两圆的交点就是(0,0)、(π/3,3a/2)

若y=x是曲线y=x^3-3x^2+ax的切线,求a 若y=x是曲线y=x^3-3x^2+ax的切线,求a 设曲线y=x-x^2与直线y=ax求参数a,使这条直线与曲线围成图形面积为9/2 若抛物线y = ax^2与曲线y = In x相切,则a= ( ) 曲线y＝x^3-2x^2+8与直线y=ax只有两个交点①求a②求围成部分面积 若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x^3和y=ax^2+15/4x-9都相切,求a? 若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x^3和y=ax^2+15/4x-9都相切,求a 设曲线y=x+1/x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,求a的值 曲线Y=(X+1)/(X-1)在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,求a, y=x^3 +ax^2-ax-1(a＜0)曲线y的导数的斜率最小的切线与12x+y=6平行.求a及y的单调区间. 曲线y=-根号1-x^2与曲线y+绝对值ax=0的交点的个数为? f(x)=x^3-x^2-x+a直线l;ax-y-1=0与曲线f'(x)相交点M(a,b),求曲线f'(x)在M(a,b)处的切线方程 已知曲线C:x^+y^-4ax+2ay-20+20a=0求若曲线与x轴相切,求a的值 求由曲线y=根号x,y=2-x,y=(-1/3)x f(x)=x^3+x^2-ax,a=0,求与直线x-y-10=0平行,且与曲线y=f(x)相切的直线方程 若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x^3和y=ax^2+15/4-9相切,求a怎么算啊 已知直线y=kx+1与曲线y=sin^3(x)+ax+b切于点(π/4,2),求a,b,k的值. 设曲线y=X^3+ax与Y=bx^2+c在点(-1、0）相切,求a,b,c.