一道有关相似三角形的初二数学题若△ABC为正三角形,延长BC至E,延长CB至D,使∠DAE=120°,试说明BC²=BD·CE
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/24 11:48:44
一道有关相似三角形的初二数学题若△ABC为正三角形,延长BC至E,延长CB至D,使∠DAE=120°,试说明BC²=BD·CE
一道有关相似三角形的初二数学题
若△ABC为正三角形,延长BC至E,延长CB至D,使∠DAE=120°,试说明BC²=BD·CE
一道有关相似三角形的初二数学题若△ABC为正三角形,延长BC至E,延长CB至D,使∠DAE=120°,试说明BC²=BD·CE
∵△ABC为正三角形
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60,AB=BC=AC
∴∠ABD=∠ACE=120
∵∠DAE=120°
∴∠DAB+∠CAE=120-60=60
而∠E+CAE=∠ACB=60
∴∠E=∠BAD
∴△ABD∽△ECA
∴AB:EC=BD:AC
∴AB*AC=EC*BD
即BC²=EC*BD
∠ACE=∠DAE=120°，那么∠CAE=∠D，同理∠DAB=∠E，所以△ADB∽△ECA，
于是CE/AB=AC/BD，而AB=AC=BC，所以：BC²=BD·CE
利用三角形相似就可以做了。有角度关系可以得到：△ABD～△EAD ,△ACE～△DAE，从而有比例性质有：BD / AB = AD / AE。。。1 ;
CE / AC = AE / AD。。。2 ;
1和2的右边与左边分别相乘就把右边消掉了，所以就有：BD×CE=AB×AC;又因为△ABC为正三角形，所以AB=AC=BC,所以BC...
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利用三角形相似就可以做了。有角度关系可以得到：△ABD～△EAD ,△ACE～△DAE，从而有比例性质有：BD / AB = AD / AE。。。1 ;
CE / AC = AE / AD。。。2 ;
1和2的右边与左边分别相乘就把右边消掉了，所以就有：BD×CE=AB×AC;又因为△ABC为正三角形，所以AB=AC=BC,所以BC²=BD·CE得证。
收起
∠DAE=120°=角DAB+角BAC+角CAE
角BAC=60°
所以角DAB+角CAE=60°
角DAB+角ADB=角ABC=620°
所以角ADB=角CAE
同理角AEC=角DAB
△ADB∽△EAC
BD/AC=AB/CE
BD*CE=AC*AB=BC²
命题得证
∵在△DAE和△ACE中
∠ACE=∠EAD,∠E=∠E，
∴△DAE∽△ACE
∴CE/AE=AC/AD①
同理，△DAE∽△DBA,
DB/AD=AB/AE②
①×②得CE/AE×DB/AD=AC/AD×AB/AE
整理得CE×DB=AC×AB=BC²（AC=AB=BC）
即BC²=BD·CE
证明：因为∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=∠DAB+∠60°+∠CAE=120°，所以
∠DAB+∠CAE=60°，有因为∠BDA+∠DAB=∠ABC=60°，∴∠BDA=∠CAE，同理
∠DAB=∠CEA
∵∠DBA=ECA=∠120°
∴△DBA∽△CEA
∴AB：CE=DB：AC
∴AB*AC=CE*DB
∵△ABC为正三角形<...
全部展开
证明：因为∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=∠DAB+∠60°+∠CAE=120°，所以
∠DAB+∠CAE=60°，有因为∠BDA+∠DAB=∠ABC=60°，∴∠BDA=∠CAE，同理
∠DAB=∠CEA
∵∠DBA=ECA=∠120°
∴△DBA∽△CEA
∴AB：CE=DB：AC
∴AB*AC=CE*DB
∵△ABC为正三角形
∴AB=BC=AC
∴BC²=BD·CE
收起
因为∠ACE=120°所以∠AEC+∠CAE=60°
又因∠DCE=120°，且∠BAC=60°,所以∠DAB+∠CAE=60°
所以∠D=∠EAC,∠DBA=∠ACE=120°,所以三角形DBA相似于三角形ACE
所以DB/AB=AC/CE,又因AB=AC=BC,
所以DB/BC=BC/CE,所以BC²=BD·CE。